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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 2b  (10 BE)
Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für F a . Geben Sie den Grenzwert von F a für x + an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen G a .
[Teilergebnis: F a ( x ) = 2 - e - a x ( a 2 x 2 + 2 a x + 2 ) ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 2b

Bestimmtes Integral



F a ( x ) = 0 x f a ( t ) d t = 0 x a 3 t 2 e - a t d t

= a 3 0 x t 2 e - a t d t ( 1 )


Nebenrechnung:
Schritt einblenden / ausblenden
e - a t d t = - 1 a e - a t


Integral (1) mit partieller Integration bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
( 1 ) = 0 x t 2 e - a t d t

= [ t 2 ( - 1 a e - a t ) ] 0 x - 0 x 2 t ( - 1 a e - a t ) d t

= [ - t 2 a e - a t ] 0 x + 2 a 0 x t e - a t d t ( 2 )


Integral (2) mit partieller Integration bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
( 2 ) = t e - a t d t

= t ( - 1 a e - a t ) - ( - 1 a e - a t ) d t

= - t a e - a t + 1 a e - a t d t

= - t a e - a t + 1 a ( - 1 a e - a t )

= - t a e - a t - 1 a 2 e - a t



(2) in (1) einsetzen:


( 1 ) = 0 x t 2 e - a t d t

= [ - t 2 a e - a t ] 0 x + 2 a [ - t a e - a t - 1 a 2 e - a t ] 0 x

= [ - t 2 a e - a t - 2 t a 2 e - a t - 2 a 3 e - a t ] 0 x



(1) in F a ( x ) einsetzen:


F a ( x ) = a 3 0 x t 2 e - a t d t ( 1 )

= a 3 [ - t 2 a e - a t - 2 t a 2 e - a t - 2 a 3 e - a t ] 0 x

= a 3 [ ( - x 2 a e - a x - 2 x a 2 e - a x - 2 a 3 e - a x ) - ( - 0 2 a e - a 0 - 2 0 a 2 e - a 0 - 2 a 3 e - a 0 ) ]

= a 3 [ - x 2 a e - a x - 2 x a 2 e - a x - 2 a 3 e - a x + 2 a 3 ]

= - a 2 x 2 e - a x - 2 a x e - a x - 2 e - a x + 2

= 2 - e - a x ( a 2 x 2 + 2 a x + 2 )
Grenzwert bestimmen



Grenzwert bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
lim x + F a ( x ) = lim x + ( 2 - e - a x ( a 2 x 2 + 2 a x + 2 ) 0 ) = 2


Interpretation:

Die Fläche die der Graph G a mit der x -Achse im I. Quadranten einschließt, hat einen endlichen Inhalt A = 2 .

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