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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (7 BE)
Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G a .
[Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei x = 2 a ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lage von Extrempunkten ermitteln



f a ( x ) = a 3 x 2 e - a x , a + , x



Erste Ableitung bilden:

f a ( x ) = ( a 3 x 2 e - a x )

= a 3 ( x 2 e - a x )
Schritt einblenden / ausblenden
= a 3 ( 2 x e - a x + x 2 e - a x ( - a ) )

= a 3 e - a x ( 2 x - a x 2 )



Erste Ableitung Null setzen: f a ( x ) = 0

a 3 e - a x > 0 ( 2 x - a x 2 ) = 0

2 x - a x 2 = 0

x ( 2 - a x ) = 0

x 1 E = 0

2 - a x = 0

x 2 E = 2 a



Lage bestimmen:

y 1 E = f a ( x 1 E ) = f a ( 0 ) = 0

E 1 ( 0 | 0 )


y 2 E = f a ( x 2 E ) = f a ( 2 a ) = a 3 ( 2 a ) 2 e - a 2 a = a 3 4 a 2 e - 2 = 4 a e 2

E 2 ( 2 a | 4 a e 2 )
Art von Extrempunkten ermitteln



Zweite Ableitung bilden:

f a ( x ) = [ a 3 e - a x ( 2 x - a x 2 ) ]

= a 3 [ e - a x ( 2 x - a x 2 ) ]
Schritt einblenden / ausblenden
= a 3 [ e - a x ( - a ) ( 2 x - a x 2 ) + e - a x ( 2 - 2 a x ) ]

= a 3 [ e - a x ( a 2 x 2 - 2 a x ) + e - a x ( 2 - 2 a x ) ]

= a 3 e - a x ( a 2 x 2 - 2 a x + 2 - 2 a x )

= a 3 e - a x ( a 2 x 2 - 4 a x + 2 )
Schritt einblenden / ausblenden
Art des Extrempunktes bestimmen:

f a ( x 1 E ) = f a ( 0 ) = a 3 e - a 0 = 1 ( a 2 0 2 - 4 a 0 + 2 ) = 2 a 3 > 0

E 1 ( 0 | 0 ) Tiefpunkt


f a ( x 2 E ) = f a ( 2 a ) = a 3 e - a 2 a [ a 2 ( 2 a ) 2 - 4 a 2 a + 2 ] = a 3 e - 2 ( 4 - 8 + 2 ) = - 2 a 3 e - 2 < 0

E 2 ( 2 a | 4 a e 2 ) Hochpunkt

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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