Gegeben ist die Schar der Funktionen
mit
und der Definitionsmenge
. Der Graph von
wird mit
bezeichnet. Die Abbildung zeigt
für
.
Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von für und für . Begründen Sie, dass nie unterhalb der -Achse verläuft.
Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von .
[Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei und Hochpunkt bei ]
Nun werden die in definierten Integralfunktionen betrachtet.
Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von für alle durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.
Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für . Geben Sie den Grenzwert von für an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen .
[Teilergebnis: ]
Nun sei . Der Graph der Funktion besitzt für einen Wendepunkt . Bestimmen Sie die Koordinaten von .
Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von im Bereich in ein Koordinatensystem (-Achse: 50 LE = 2,5 cm, -Achse: 1 LE = 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: und .
Die Gruppe "Die toten Rosen" gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion der Form mit geeignetem und geeignetem modelliert werden. Dabei bedeutet die seit 18 Uhr vergangene Zeit in Minuten. gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an.
Bestimmen Sie die Parameter und , wenn das Maximum der Funktion um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.
Berechnen Sie für und unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms das Integral und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.