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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1a  (3 BE)
Gegeben ist die Schar der Funktionen f a : x a 3 x 2 e - a x mit a + und der Definitionsmenge . Der Graph von f a wird mit G a bezeichnet. Die Abbildung zeigt G a für a = 0 , 04 .

Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von f a für x - und für x + . Begründen Sie, dass G a nie unterhalb der x -Achse verläuft.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs



f a ( x ) = a 3 x 2 e - a x , a + , x


Limes gegen - :

lim x - f a ( x ) = lim x - a 3 > 0 x 2 + e - a x + = +


Limes gegen + :

lim x + f a ( x ) = lim x + a 3 > 0 x 2 + e - a x 0 +

= lim x + a 3 x 2 + e a x +
Schritt einblenden / ausblenden
= lim x + a 3 2 x + a e a x +

= lim x + a 3 2 a 2 e a x +

= 0 +
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen



Begründung:

f a ( x ) = a 3 > 0 x 2 0 e - a x > 0 0

G a verläuft nie unterhalb der x -Achse, da f a ( x ) größer gleich Null ist für alle x D f a

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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