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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (9 BE)
Weisen Sie nach, dass G g genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente w . Tragen Sie diese in obige Abbildung ein. [Zur Kontrolle: w : y = - 4 e x - 6 e ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Wendepunkt ermitteln



Zweite Ableitung bilden:

g ( x ) = [ g ( x ) ] = ( 8 x e 2 x ) = 8 ( x e 2 x )
Schritt einblenden / ausblenden
= 8 [ 1 e 2 x + x ( e 2 x ) ]
Schritt einblenden / ausblenden
= 8 ( e 2 x + x e 2 x 2 )

= 8 e 2 x ( 2 x + 1 )

Zweite Ableitung setzen: g = 0

8 e 2 x ( 2 x + 1 ) = 0 (1)
Schritt einblenden / ausblenden
2 x + 1 = 0

x W = - 1 2

y W = g ( x W ) = g ( - 1 2 ) = ( 4 ( - 1 2 ) - 2 ) e 2 ( - 1 2 ) = - 4 e


Prüfen, ob ( x W | y W ) tatsächlich ein Wendepunkt ist.

Dritte Ableitung bilden:

g ( x ) = [ g ( x ) ] = 8 [ ( 2 x + 1 ) e 2 x ]
Schritt einblenden / ausblenden
= 8 [ 2 e 2 x + ( 2 x + 1 ) ( e 2 x ) ]
Schritt einblenden / ausblenden
= 8 [ 2 e 2 x + ( 2 x + 1 ) e 2 x 2 ]

= 8 ( 4 x + 4 ) e 2 x

= 32 ( x + 1 ) e 2 x


x W in die dritte Ableitung einsetzen:

g ( x W ) = g ( - 1 2 ) = 32 ( - 1 2 + 1 ) e 2 ( - 1 2 ) = 16 e 0

Schritt einblenden / ausblenden
G g besitzt bei ( - 1 2 | - 4 e ) genau einen (die lineare Gelichung (1) hat nur eine Lösung) Wendepunkt.
Wendetangente



x W = - 1 2

y W = g ( x W ) = - 4 e

g ( x W ) = g ( - 1 2 ) = 8 ( - 1 2 ) e 2 ( - 1 2 ) = - 4 e
Schritt einblenden / ausblenden
Gleichung der Wendetangente:

W : y = ( x + 1 2 ) ( - 4 e ) - 4 e = - 4 e ( x + 1 2 + 1 ) = - 4 e x - 6 e
Skizze




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