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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
Die Abbildung zeigt den Graphen G g der Funktion g : x ( 4 x - 2 ) e 2 x mit dem Definitionsbereich D g = .

Berechnen Sie die Nullstellen von g .
G g besitzt genau einen Tiefpunkt (Nachweis nicht erforderlich).
Berechnen Sie dessen Koordinaten. [Zur Kontrolle: g ( x ) = 8 x e 2 x ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Nullstellen einer Funktion



g ( x ) = ( 4 x - 2 ) e 2 x

Funktion Null setzen: g ( x ) = 0

( 4 x - 2 ) e 2 x = 0
Schritt einblenden / ausblenden
4 x - 2 = 0

x N = 1 2
Lage von Extrempunkten ermitteln



g ( x ) = [ ( 4 x - 2 ) e 2 x ]
Schritt einblenden / ausblenden
= 4 e 2 x + ( 4 x - 2 ) ( e 2 x )
Schritt einblenden / ausblenden
= 4 e 2 x + ( 4 x - 2 ) e 2 x 2

= e 2 x ( 4 + 8 x - 4 )

= 8 x e 2 x

Erste Ableitung Null setzen:

g ( x ) = 8 x e 2 x = 0

Schritt einblenden / ausblenden
x E = 0

y E = g ( x E ) = g ( 0 ) = ( 4 0 - 2 ) e 2 0 = 1 = - 2

Der gesuchte Tiefpunkt ist ( 0 | - 2 )

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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