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Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe g  (7 BE)
Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im Modell vom Punkt H ( 11 | 3 | 6 ) der Deckfläche D C R S aus in Richtung des Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine gerade Stahlstange mit einer Länge von 1 , 4 m so befestigt, dass die Stange zu drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt.
Bestimmen Sie im Modell eine Gleichung der Geraden h , entlang derer die Bohrung verläuft, sowie die Koordinaten des Punkts, in dem die Stange in der Bohrung endet.

(zur Kontrolle: möglicher Richtungsvektor von h : ( 3 2 - 6 ) )

 
Lösung zu Teilaufgabe g

Geradengleichung aufstellen



H ( 11 | 3 | 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
M ( 14 | 5 | 0 ) Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche


Richtungsvektor der Geraden h :

H M = M - H = ( 14 5 0 ) - ( 11 3 6 ) = ( 3 2 - 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
h : X = ( 11 3 6 ) + λ ( 3 2 - 6 )
Lage eines Punktes





Gesucht: T
Schritt einblenden / ausblenden
H M 0 = 1 | H M | H M
Schritt einblenden / ausblenden
H M 0 = 1 9 + 4 + 36 ( 3 2 - 6 )

H M 0 = 1 7 ( 3 2 - 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
T = H + T H ¯ H M 0
T = ( 11 3 6 ) + T H ¯ 1 7 ( 3 2 - 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
T H ¯ = 1 4 1 , 4 10 = 3 , 5 LE

T = ( 11 3 6 ) + 3 , 5 1 7 ( 3 2 - 6 ) = ( 12 , 5 4 3 )

T ( 12 , 5 | 4 | 3 )
Alternative Lösung



T h T ( 11 + 3 λ | 3 + 2 λ | 6 - 6 λ )

T H ¯ = 3 , 5

T H ¯ = | T H | = | H - T | = | ( 11 3 6 ) - ( 11 + 3 λ 3 + 2 λ 6 - 6 λ ) | = | ( - 3 λ - 2 λ 6 λ ) |

3 , 5 = 9 λ 2 + 4 λ 2 + 36 λ 2

3 , 5 = 49 λ 2

3 , 5 = ± 7 λ λ = ± 1 2

Einsetzen von λ = ± 1 2 in T :

T 1 ( 12 , 5 | 4 | 3 ) und T 2 ( 9 , 5 | 2 | 9 )

Da die Bohrung Richtung x 1 x 2 -Ebene führt, ist T 1 ( 12 , 5 | 4 | 3 ) der gesuchte Punkt, also der Punkt mit der kleinsten x 3 -Koordinate.

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