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Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe a  (5 BE)
Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die Form eines Spats hat. Alle Seitenflächen eines Spats sind Parallelogramme.

In einem Modell lässt sich der Grundkörper durch einen Spat A B C D P Q R S mit A ( 28 | 0 | 0 ) , B ( 28 | 10 | 0 ) , D ( 20 | 0 | 6 ) , und P ( 0 | 0 | 0 ) beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche A B Q P liegt in der x 1 x 2 -Ebene. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 0 , 1 m, d. h. der Grundkörper ist 0 , 6 m hoch.

Geben Sie die Koordinaten des Punkts C an und zeigen Sie, dass die Seitenfläche A B C D ein Quadrat ist.
 
Lösung zu Teilaufgabe a

Lage eines Punktes



A ( 28 | 0 | 0 ) , B ( 28 | 10 | 0 ) , D ( 20 | 0 | 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
C ( 20 | 10 | 6 )
Lagebeziehung von Vektoren



A B = B - A = ( 28 10 0 ) - ( 28 0 0 ) = ( 0 10 0 )

A D = D - A = ( 20 0 6 ) - ( 28 0 0 ) = ( - 8 0 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
A B A D = ( 0 10 0 ) ( - 8 0 6 ) = 0 + 0 + 0 = 0 A B A D

Das Parallelogramm A B C D ist somit ein Rechteck.
Schritt einblenden / ausblenden
Länge eines Vektors



| A B | = | ( 0 10 0 ) | = 0 + 100 + 0 = 10

| A D | = | ( - 8 0 6 ) | = 64 + 0 + 36 = 10

| A B | = | A D |
Alle Seiten sind gleich lang.

A B C D ist ein Quadrat.

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