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Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 2a  (6 BE)
Der Schnittpunkt S der Geraden g mit der   x 1 x 3 -Ebene ist die Spitze einer Pyramide mit dem Trapez ECDF als Grundfläche.
Bestimmen Sie das Volumen dieser Pyramide.
[Teilergebnis:   S ( 6 | 0 | 12 )  ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a

Volumen einer Pyramide



Die   x 1 x 3 -Ebene hat als Normalenvektor   ( 0 1 0 )  , also ist   E x 1 x 3 : x ( 0 1 0 ) = 0 x 2 = 0
Gesucht ist   g E x 1 x 3 :
Schritt einblenden / ausblenden
[ ( 5 2 9 ) + λ ( 1 2 3 ) ] ( 0 1 0 ) = 0
( 5 + λ ) 0 + ( 2 2 λ ) 1 + ( 9 + 3 λ ) 0 = 0

2 2 λ = 0 λ = 1
Schritt einblenden / ausblenden
Der Schnittpunkt der Gerade g mit der   x 1 x 3 -Ebene ist   S ( 6 | 0 | 12 ) .
Gesucht ist nun die Höhe der Pyramide, also der Abstand von S (Spitze) zur Ebene H (Grundfläche liegt in H).
Schritt einblenden / ausblenden
h = d ( S , H ) = | ( 6 0 12 ) ( 4 0 3 ) 3 ( 4 0 3 ) 2 | = | 12 3 5 | = | 3 | = 3
Das Volumen einer Pyramide ist gleich   1 3 G h , G ist die Grundfläche, h die Höhe.

G = Q T r a p e z ,   h = 3

V P y r . = 1 3 G h = 1 3 Q T r a p e z h = 1 3 40 3 = 40

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