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Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 1a  (6 BE)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte  A ( 3 | 2 | 3 ) ,   B ( 3 | 2 | 3 ) ,   C ( 6 | 2 | 7 )   und   D ( 6 | 2 | 7 )   sowie die Gerade   g : x = ( 5 2 9 ) + λ ( 1 2 3 ) , λ , gegeben.
Bestimmen Sie eine Normalenform der Ebene H, die durch die Punkte A, B und C festgelegt wird. Beschreiben Sie die Lage von H im Koordinatensystem. [mögliches Ergebnis:  H : 4 x 1 3 x 3 3 = 0  ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte



Gegeben sind die Punkte   A ( 3 | 2 | 3 ) ,   B ( 3 | 2 | 3 )  und  C ( 6 | 2 | 7 ) .
Schritt einblenden / ausblenden
Der Ortsvektor der Ebene H ist   O A = ( 3 2 3 )
Die Richtungsvektoren der Ebene H sind   A B  und  B C .
A B = O B O A = ( 3 2 3 ) ( 3 2 3 ) = ( 0 4 0 )      n o r m i e r t      ( 0 1 0 ) a
B C = O C O B = ( 6 2 7 ) ( 3 2 3 ) = ( 3 4 4 ) b
H A , B , C = x = ( 3 2 3 ) + α ( 0 1 0 ) + β ( 3 4 4 )
Schritt einblenden / ausblenden
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor der Ebene H:   n H = a × b = ( 0 1 0 ) × ( 3 4 4 ) = ( 4 0 3 )
Schritt einblenden / ausblenden
Normalenform der Ebene H:   x n H = x ( 4 0 3 ) = 3 4 x 1 3 x 3 3 = 0
Lagebeziehung von Ebenen



Die Ebene H ist parallel zur x 2 -Achse, da der Normalenvektor ( 4 0 - 3 ) in der x 1 x 3 -Ebene liegt.

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