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Abitur 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = ( 3 + x ) 2 x - 1 und maximalem Definitionsbereich D . Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.

Geben Sie D und die Koordinaten der Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen an.


Zeigen Sie, dass f ( x ) zum Term x + 7 + 16 x - 1 äquivalent ist, und geben Sie die Bedeutung der Geraden g mit der Gleichung y = x + 7 für G f an.

Eine Funktion f ist durch f ( x ) = 2 ⋅ e 1 2 x - 1 mit x ∈ ℝ gegeben.

Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion f .


Die Tangente an den Graphen von f im Punkt S ( 0 | 1 ) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in ℝ definierten Funktion g : x ↦ p + q ⋅ sin ( π r x ) mit p , q , r ∈ ℕ .


Geben Sie p , q und r an.


Der Graph der Funktion h geht aus dem Graphen der Funktion g durch Verschiebung um zwei Einheiten in positive x-Richtung hervor. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von h an.

An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt t (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung n ( t ) = 3 t 2 - 60 t + 500 beschrieben werden.

Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.


Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft - 30 1 h beträgt.

Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = 2 e - x ⋅ ( 2 e - x - 1 ) und x ∈ ℝ .
Abbildung 1 zeigt den Graphen G f von f sowie die einzige Nullstelle x = ln 2 von f .


Zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion f ′ von f gilt: f ′ ( x ) = 2 e - x ⋅ ( 1 - 4 e - x ) .


Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von G f .

(Teilergebnis: x-Koordinate des Extrempunkts: ln 4 )


Zusätzlich ist die Funktion F mit F ( x ) = 2 e - x - 2 e - 2 x und x ∈ ℝ gegeben.

Zeigen Sie, dass F eine Stammfunktion von f ist, und begründen Sie anhand des Terms von F , dass lim x → + ∞ F ( x ) = 0 gilt.


Der Graph von F verläuft durch den Punkt ( ln 2 | 0 , 5 ) . Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass F keine größeren Werte als 0 , 5 annehmen kann und bei x = ln 4 eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die y-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts.


Zeichnen Sie den Graphen von F unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts F ( 0 ) im Bereich - 0 , 3 ≤ x ≤ 3 , 5 in Abbildung 1 ein.


Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit den Eckpunkten O ( 0 | 0 ) , P ( ln 2 | 0 ) und Q ( 0 | 2 ) angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks O P Q vom Inhalt des Flächenstücks abweicht.

Betrachtet wird nun die Integralfunktion F 0 mit F 0 ( x ) = ∫ 0 x f ( t )  dt und x ∈ ℝ .

Begründen Sie, dass F 0 mit der betrachteten Stammfunktion F von f übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert F 0 ( 2 ) ≈ 0 , 234 mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken.


Geben Sie den Term einer in ℝ definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von f ist.

Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi211 befindet. Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Tl207 um und dieser wiederum irgendwann in einen Kern des Stoffs Pb207. Abbildung 2 zeigt diese Zerfallsreihe schematisch.



Der zeitliche Verlauf des Bi 211-Anteils, des Tl207-Anteils und des Pb207-Anteils der Kerne im Gefäß lässt sich durch die in ℝ definierten Funktionen B , F bzw. P beschreiben, deren Terme der folgenden Tabelle zu entnehmen sind. Dabei ist F die in Aufgabe 1 betrachtete Funktion.



Für jede der drei Funktionen bezeichnet x ≥ 0 die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in der Einheit 6 Minuten. Beispielsweise bedeutet P ( 1 ) ≈ 0 , 400 , dass sechs Minuten nach Beginn der Beobachtung etwa 40,0% aller Kerne im Gefäß Pb207-Kerne sind.

Bestimmen Sie jeweils auf zehntel Prozent genau die Anteile der drei Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn.


Ermitteln Sie unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 1 den Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von Tl 207-Kernen im Gefäß am größten ist.


Begründen Sie rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sind.


Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion P nach, dass lim x → + ∞ P ( x ) = 1 gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang.