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Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil B 1b  (4 BE)
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von G f .

(Teilergebnis: x-Koordinate des Extrempunkts: ln 4 )

 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1b

Lage von Extrempunkten ermitteln



f ( x ) = 2 e - x ⋅ ( 2 e - x - 1 )

f ′ ( x ) = 2 e - x ⋅ ( 1 - 4 e - x )
Schritt einblenden / ausblenden
Erste Ableitung gleich Null setzen: f ′ ( x ) = 0

2 e - x ︸ > 0 ⋅ ( 1 - 4 e - x ) = 0
1 - 4 e - x = 0

1 = 4 e - x ⋅ | e x

e x = 4 | ln
x E = ln 4


Lage des möglichen Extrempunkts:
y E = f ( ln 4 ) = 2 e - ln 4 ⋅ ( 2 e - ln 4 - 1 ) = 1 2 ⋅ ( 1 2 - 1 ) = - 1 4

⇒ E ( ln 4 | - 1 4 )
Art von Extrempunkten ermitteln



f ′ ( x ) = 2 e - x ⋅ ( 1 - 4 e - x ) = 2 e - x - 8 e - 2 x

Zweite Ableitung bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ′ ( x ) = 2 e - x ⋅ ( - 1 ) - 8 e - 2 x ⋅ ( - 2 )

f ′ ′ ( x ) = - 2 e - x + 16 e - 2 x



Vorzeichen der zweiten Ableitung an der möglichen Extremstelle untersuchen:
Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ′ ( ln 4 ) = - 2 e - ln 4 + 16 e - 2 ln 4 = - 1 2 + 1 = 1 2 > 0

⇒ E ( ln 4 | - 1 4 ) Tiefpunkt

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