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Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil B 1c  (5 BE)
Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte P x , für die d ( x ) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1c

Extremwertaufgabe



d ( x ) = 0 , 04 x 4 - x 2 + 25


Erste Ableitung bilden:
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d ( x ) = [ ( 0 , 04 x 4 - x 2 + 25 ) 1 2 ]
Schritt einblenden / ausblenden
d ( x ) = 1 2 ( 0 , 04 x 4 - x 2 + 25 ) - 1 2 ( 0 , 16 x 3 - 2 x )
Schritt einblenden / ausblenden
d ( x ) = 0 , 16 x 3 - 2 x 2 0 , 04 x 4 - x 2 + 25
Schritt einblenden / ausblenden
Erste Ableitung gleich Null setzen: d ( x ) = 0

0 = 0 , 16 x 3 - 2 x 2 0 , 04 x 4 - x 2 + 25
Schritt einblenden / ausblenden
0 = 0 , 16 x 3 - 2 x

0 = 2 x ( 0 , 08 x 2 - 1 )
Schritt einblenden / ausblenden
1. x 1 = 0

2. 0 , 08 x 2 - 1 = 0 x 2 , 3 = ± 12 , 5
d ( 0 ) = 5

d ( ± 12 , 5 ) = 0 , 04 ( ± 12 , 5 ) 4 - ( ± 12 , 5 ) 2 + 25 = 18 , 75 4 , 3
d ( x ) ist minimal für x = ± 12 , 5

(Da die Aufgabenstellung die Existenz von Punkten mit minimalem Abstand vorgibt, ist die Überprüfung, ob es sich tatsächlich um Extremwerte handelt, in diesem Fall nicht notwendig.)