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Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil B 1a  (6 BE)
Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der x-Achse, sein Mittelpunkt M im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:

I Breite des Tunnelbodens: b = 10 m

II Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: h = 5 m

III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 m mindestens 4 m hoch.
Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion p : x - 0 , 2 x 2 + 5 mit Definitionsbereich D p = [-5;5].
Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind.
Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Nullstellen einer Funktion



p ( x ) = - 0 , 2 x 2 + 5
Schritt einblenden / ausblenden
Nullstellen bestimmen: p ( x ) = 0

0 = - 0 , 2 x 2 + 5

0 , 2 x 2 = 5

x 2 = 25 x 1 , 2 = ± 25 = ± 5 Bedingung I erfüllt

Scheitelpunktform einer Parabel



S ( 0 | 5 ) ist Scheitelpunkt von G p Bedingung II erfüllt
Winkel bestimmen



Erste Ableitung bestimmen: p ( x ) = - 0 , 4 x
Schritt einblenden / ausblenden
tan α = p ( - 5 )

tan α = 2

α = tan - 1 ( 2 ) 63 , 4