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Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil 2 1b  (8 BE)
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von G f .
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1b

Lage von Extrempunkten ermitteln



f ( x ) = 1 2 x - 1 2 + 8 x + 1


Erste Ableitung bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = 1 2 + 0 ( x + 1 ) - 8 1 ( x + 1 ) 2

f ( x ) = 1 2 - 8 ( x + 1 ) 2
Schritt einblenden / ausblenden
Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: f ( x ) = 0

0 = 1 2 - 8 ( x + 1 ) 2

8 ( x + 1 ) 2 = 1 2

( x + 1 ) 2 = 16 |

x + 1 = ± 4

x + 1 = 4 x 1 E = 3
x + 1 = - 4 x 2 E = - 5


Lage der möglichen Extrempunkte ermitteln:

y 1 E = f ( x 1 E ) = f ( 3 ) = 3 E 1 ( 3 | 3 )
y 2 E = f ( x 2 E ) = f ( - 5 ) = - 5 E 2 ( - 5 | - 5 )
Art von Extrempunkten ermitteln



Zweite Ableitung bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = 0 - 0 ( x + 1 ) 2 - 8 2 ( x + 1 ) ( x + 1 ) 4

f ( x ) = - - 16 ( x + 1 ) ( x + 1 ) 4

f ( x ) = 16 ( x + 1 ) 3
Schritt einblenden / ausblenden
Vorzeichen der zweiten Ableitung an den Extremstellen untersuchen:

f ( 3 ) = 16 64 > 0 E 1 ( 3 | 3 ) Tiefpunkt

f ( - 5 ) = 16 - 64 < 0 E 2 ( - 5 | - 5 ) Hochpunkt