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Abitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Geben Sie für die Funktion f mit f ( x ) = ln ( 2013 - x ) den maximalen Definitionsbereich D , das Verhalten von f an den Grenzen von D sowie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen an.

Der Graph der in definierten Funktion f : x x sin x verläuft durch den Koordinatenursprung. Berechnen Sie f ( 0 ) und geben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von f in unmittelbarer Nähe des Koordinatenursprungs an.

Gegeben sind die in definierten Funktionen g : x e - x und h : x x 3 .
Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen von g und h genau einen Schnittpunkt haben.

Bestimmen Sie einen Näherungswert x 1 für die x -Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in definierte Funktion d : x g ( x ) - h ( x ) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x 0 = 1 durchführen.

Abbildung 1 zeigt den Graphen G f der Funktion f mit Definitionsbereich [ - 2 ; 2 ] . Der Graph besteht aus zwei Halbkreisen, die die Mittelpunkte ( - 1 | 0 ) bzw. ( 1 | 0 ) sowie jeweils den Radius 1 besitzen. Betrachtet wird die in [ - 2 ; 2 ] definierten Integralfunktion F : x 0 x f ( t ) dt .
Geben Sie F ( 0 ) , F ( 2 ) und F ( - 2 ) an.

Skizzieren Sie den Graphen von F in Abbildung 1.

Gegeben ist die Funktion f : x 1 2 x - 1 2 + 8 x + 1 mit Definitionsbereich { - 1 } . Abbildung 2 zeigt den Graphen G f von f .

Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von G f an und zeigen Sie rechnerisch, dass G f seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein.

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von G f .

Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass G f bezüglich des Schnittpunkts P ( - 1 | - 1 ) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von G f kann die Funktion g betrachtet werden, deren Graph aus G f durch Verschiebung um 1 in positive x -Richtung und um 1 in positive y -Richtung hervorgeht.
Bestimmen Sie einen Funktionsterm von g . Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von G f nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(Teilergebnis: g ( x ) = 1 2 x + 8 x )


Zeigen Sie, dass 0 4 f ( x ) dx = 2 + 8 ln 5 gilt.

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals - 6 - 2 f ( x ) dx ; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm.

Die bisher betrachtete Funktion f gibt für 0 x 15 die Höhe von S über dem Dosenboden in Zentimetern an; dabei ist x die Füllhöhe in Zentimetern (vgl. Abbildung 3).
Berechnen Sie f ( 0 ) und f ( 15 ) . Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang.

Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts S während des Füllvorgangs.
Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass x -Koordinate und y -Koordinate des Tiefpunkts von G f übereinstimmen?

Für welche Füllhöhen x liegt der Schwerpunkt S höchstens 5 cm hoch?
Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung.