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Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I
Teilaufgabe 2.1 (3 BE)
Nun wird gesetzt. Die Funktion wird im Folgenden kurz mit bezeichnet. Es gilt: .
Die Funktion lässt sich auch in der Form darstellen (Nachweis nicht erforderlich).
Die Funktion lässt sich auch in der Form darstellen (Nachweis nicht erforderlich).
Begründen Sie ohne weitere Rechnung und mithilfe der Ergebnisse aus Aufgabe 1, dass die Funktion genau zwei Extremstellen hat.
Lösung zu Teilaufgabe 2.1
Anwendungsaufgabe
Nach Teilaufgabe 1.1 (1. Fall) gilt:
ist doppelte Nullstelle
ist einfache Nullstelle
ist doppelte Nullstelle
ist einfache Nullstelle
Es folgt somit:
hat nach Aufgabe 1.1 bei eine doppelte Nullstelle, berührt also an dieser Stelle die -Achse. ist somit zugleich eine Extremstelle.
ist eine weitere von der ersten verschiedene Nullstelle von . Folglich muss sich zwischen den beiden Nullstellen noch ein Extremum befinden.
Da eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist, können keine weiteren Extremstellen auftreten.
hat also genau zwei Extremstellen.
hat nach Aufgabe 1.1 bei eine doppelte Nullstelle, berührt also an dieser Stelle die -Achse. ist somit zugleich eine Extremstelle.
ist eine weitere von der ersten verschiedene Nullstelle von . Folglich muss sich zwischen den beiden Nullstellen noch ein Extremum befinden.
Da eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist, können keine weiteren Extremstellen auftreten.
hat also genau zwei Extremstellen.
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