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Abitur 2011 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I
Teilaufgabe 1 (6 BE)
Gegeben sind die reellen Funktionen mit und .
Ermitteln Sie in Abhängigkeit von die Lage und Vielfachheit der Nullstellen von .
Ermitteln Sie in Abhängigkeit von die Lage und Vielfachheit der Nullstellen von .
Nun wird gesetzt. Die Funktion wird im Folgenden kurz mit bezeichnet. Es gilt: .
Die Funktion lässt sich auch in der Form darstellen (Nachweis nicht erforderlich).
Die Funktion lässt sich auch in der Form darstellen (Nachweis nicht erforderlich).
Teilaufgabe 2.1 (3 BE)
Begründen Sie ohne weitere Rechnung und mithilfe der Ergebnisse aus Aufgabe 1, dass die Funktion genau zwei Extremstellen hat.
Teilaufgabe 2.2 (6 BE)
Ermitteln Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen der Funktion . Runden Sie ggf. auf zwei Nachkommastellen.
Teilaufgabe 2.3 (4 BE)
Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph der Funktion rechts- bzw. linksgekrümmt ist.
Teilaufgabe 2.4 (4 BE)
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion im Bereich mithilfe vorliegender Ergebnisse in ein Koordinatensystem.
Gegeben ist weiterhin eine quadratische Funktion . Der Graph von besitzt an der Stelle den Scheitelpunkt und berührt den Graphen der Funktion (aus Aufgabe 2) an der Stelle .
Teilaufgabe 3.1 (7 BE)
Bestimmen Sie den Funktionsterm .
[Ergebnis: ]
[Ergebnis: ]
Teilaufgabe 3.2 (5 BE)
Zeichnen Sie den Graphen von im Bereich in das Koordinatensystem aus Aufgabe 2.4. Berechnen Sie dazu die Nullstellen von sowie die Koordinaten des Scheitels.
Teilaufgabe 3.3 (7 BE)
Die Koordinatenachsen und die Graphen der Funktionen (aus Aufgabe 2) und schließen im I. Quadranten ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie das Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts auf zwei Nachkommastellen genau.
Teilaufgabe 4 (5 BE)
Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion durch
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Funktion an der Nahtstelle differenzierbar ist.
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Funktion an der Nahtstelle differenzierbar ist.
Eine Schokoladenfirma will eine neue Praline auf den Markt bringen. Die Länge und Breite der Praline beträgt cm. Die weiteren Größenverhältnisse sind den folgenden Abbildungen zu entnehmen.
Aus verpackungstechnischen Gründen gilt für die Summe aus Höhe , Breite und Länge cm. Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch.
Aus verpackungstechnischen Gründen gilt für die Summe aus Höhe , Breite und Länge cm. Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch.
Teilaufgabe 5.1 (7 BE)
Stellen Sie eine Gleichung für das Volumen der Praline in Abhängigkeit von auf und geben Sie eine im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge an.
[Teilergebnis: ]
[Teilergebnis: ]
Teilaufgabe 5.2 (6 BE)
Berechnen Sie so, dass das Volumen der Praline den absolut größten Wert annimmt.
Berechnen Sie hierfür auch die Höhe der Praline.
Berechnen Sie hierfür auch die Höhe der Praline.
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