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Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe Teil B d  (7 BE)
Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt H ( 50 | 70 | 15 ) beschrieben.
Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte W 1 , W 2 und K 2 festgelegten Ebene E in Normalenform und weisen Sie nach, dass H unterhalb von E liegt.

[Mögliches Teilergebnis: E : x 2 + 5 x 3 - 150 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Ebene aus drei Punkte



W 1 ( 0 | 0 | 30 ) , W 2 ( 90 | 0 | 30 ) , K 2 ( 51 | 100 | 10 )


Richtungsvektoren der Ebene E bestimmen:
W 1 W 2 = W 2 - W 1 = ( 90 0 30 ) - ( 0 0 30 ) = ( 90 0 0 )

W 1 K 2 = K 2 - W 1 = ( 51 100 10 ) - ( 0 0 30 ) = ( 51 100 - 20 )

W 1 sei der Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene E .
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor n E der Ebene E bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
W 1 W 2 × W 1 K 2 = ( 90 0 0 ) × ( 51 100 - 20 ) = ( 0 1800 9000 )
Schritt einblenden / ausblenden
n = 1 1800 ( 0 1800 9000 ) = ( 0 1 5 )


Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
E : ( 0 1 5 ) n E X = ( 0 1 5 ) ( 0 0 30 ) W 1

E : x 2 + 5 x 3 = 0 + 0 + 150

E : x 2 + 5 x 3 = 150
Geradengleichung aufstellen



Gerade h durch H senkrecht zur x 1 x 2 -Ebene:
Schritt einblenden / ausblenden
h : X = ( 50 70 15 ) H + μ ( 0 0 1 ) , μ
Schnitt Ebene und Gerade



Gerade h mit Ebene E schneiden: E h
Schritt einblenden / ausblenden
E h : 70 + 5 ( 15 + μ ) = 150 70 + 75 + 5 μ = 150 5 μ = 5 μ = 1
Schritt einblenden / ausblenden
H = ( 50 70 15 ) + 1 ( 0 0 1 ) H ( 50 | 70 | 16 )
Schritt einblenden / ausblenden
Der Punkt H liegt oberhalb von H .
Da H auf der Ebene E liegt, liegt somit H unterhalb der Ebene.