Abitur 2015 Mathematik Stochastik III

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoulikette mit der Länge ${\displaystyle 5}$ und der Trefferwahrscheinlichkeit ${\displaystyle \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ beschrieben.

Geben Sie für die folgenden Ereignisse ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von ${\displaystyle \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ beschreibt.

A: "Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen."
B: "Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen."

Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

Ein Moderator lädt zu einer Talkshow drei Politiker, eine Journalistin und zwei Mitglieder einer Bürgerinitiative ein. Für die Diskussionsrunde ist eine halbkreisförmige Sitzordnung vorgesehen, bei der nach den Personen unterschieden wird und der Moderator den mittleren einnimmt.

Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der möglichen Sitzordnungen berechnet werden kann, wenn keine weiteren Einschränkungen berücksichtigt werden.

Der Sender hat festgelegt, dass unmittelbar neben dem Moderator auf einer Seite die Journalistin und auf der anderen Seite einer der Politiker sitzen soll. Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser weiteren Einschränkung die Anzahl der möglichen Sitzordnungen.

Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen ${\displaystyle 5}$ bzw. ${\displaystyle 2}$ beschriftet sind (vgl. Abbildung).
Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt.
Die Zufallsgröße ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 10}$ oder ${\displaystyle 25}$ annehmen. Die Zahl ${\displaystyle 5}$ wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ erzielt.
Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht.

Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von ${\displaystyle 10\%}$ erhält.

(Ergebnis: ${\displaystyle 2\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$)

Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ der Zufallsgröße ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gilt:
${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=9{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+12\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4.}$

Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von ${\displaystyle 16\%}$ gewähren. Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{9}}$. Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als ${\displaystyle 99\%}$ mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.

Eine der Filialen der Handelskette befindet sich in einem Einkaufszentrum, das zu Werbezwecken die Erstellung einer Smartphone-App in Auftrag geben will. Diese App soll die Kunden beim Betreten des Einkaufszentrums über aktuelle Angebote und Rabattaktionen der beteiligten Geschäfte informieren. Da dies mit Kosten verbunden ist, will der Finanzchef der Handelskette einer Beteiligung an der App nur zustimmen, wenn mindestens ${\displaystyle 15\%}$ der Kunden der Filiale bereit sind, diese App zu nutzen. Der Marketingchef warnt jedoch davor, auf eine Beteiligung an der App zu verzichten, da dies zu einem Imageverlust führen könnte.
Um zu einer Entscheidung zu gelangen, will die Geschäftsführung der Handelskette eine der beiden folgenden Nullhypothesen auf der Basis einer Befragung von ${\displaystyle 200}$ Kunden auf einem Signifikanzniveau von ${\displaystyle 10\%}$ testen:

I "Weniger als ${\displaystyle 15\%}$ der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

II "Mindestens ${\displaystyle 15\%}$ der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

Nach Abwägung der möglichen Folgen, die der Finanzchef und der Marketingchef aufgezeigt haben, wählt die Geschäftsführung für den Test die Nullhypothese II. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

Entscheiden Sie, ob bei der Abwägung, die zur Wahl der Nullhypothese II führte, die Befürchtung eines Imageverlusts oder die Kostenfrage als schwerwiegender erachtet wurde. Erläutern Sie Ihre Entscheidung.