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Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Stochastik IV


 
Teilaufgabe 3c  (4 BE)
Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße Y mit den Parametern n = 3 und p = 2 3 . Zeigen Sie rechnerisch, dass Y den gleichen Erwartungswert wie die Zufallsgröße X , aber eine größere Varianz als X besitzt.
Erläutern Sie, woran man durch Vergleich der Abbildungen 1 und 2 erkennen kann, dass Var ( Y ) > Var ( X ) gilt.
 
Lösung zu Teilaufgabe 3c

Erwartungswert einer Zufallsgröße



n = 3 ; p = 2 3
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μ = n p = 3 2 3 = 2
Varianz einer Zufallsgröße



V a r ( Y ) = n p q = 3 2 3 1 3 = 2 3
Schritt einblenden / ausblenden
Vergleicht man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Werte (0,1 und 3) der Zufallsgrößen X und Y miteinander, so stellt man fest:

- Für k = 1 sind die Wahrscheinlichkeiten in etwa gleich.

- Für k = 0 und k = 3 sind die Wahrscheinlichkeiten bei der Zufallsgröße Y größer als bei X .

Da der Erwartungswert (2) für beide Zufallsgrößen gleich ist, und die restlichen Wahrscheinlichkeiten bei der Zufallsgröße Y größer sind, gilt:

V a r ( Y ) > V a r ( X )

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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