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Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil 2 1d  (5 BE)
Im Intervall ] 0 ; 2 [ gibt es eine Stelle x 0 , an der der Wert der Differenz d ( x ) = q ( x ) - p ( x ) maximal wird. Berechnen Sie x 0 sowie den Wert der zugehörigen Differenz.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1d

Extremwertaufgabe



q ( x ) = - 0 , 11 x 4 - 0 , 81 x 2 + 5

p ( x ) = - 1 , 25 x 2 + 5

⇒ d ( x ) = q ( x ) - p ( x ) = - 0 , 11 x 4 + 0 , 44 x 2
Erste Ableitung bilden:

d ′ ( x ) = - 0 , 44 x 3 + 0 , 88 x = - 0 , 44 x ⋅ ( x 2 - 2 )
Schritt einblenden / ausblenden
Erste Ableitung gleich Null setzen:

d ′ ( x ) = 0 ⇔ - 0 , 44 x ⋅ ( x 2 - 2 ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
x 2 - 2 = 0

x 0 = 2 (und x 1 = - 2 ∉ ] 0 ; 2 [ )

( - 0 , 44 x = 0 ⇒ x 2 = 0 ∉ ] 0 ; 2 [ )

Prüfen, ob es sich um eine Extremstelle handelt:


Zweite Ableitung bilden:

d ′ ′ ( x ) = - 1 , 32 x 2 + 0 , 88


x 0 = 2 in d ′ ′ ( x ) einsetzen:
Schritt einblenden / ausblenden
d ′ ′ ( 2 ) = - 1 , 76 ⇒ Maximum an der Stelle x 0 = 2


⇒ An der Stelle x 0 = 2 nimmt d ( x ) den maximalen Wert d ( 2 ) = 0 , 44 an.

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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