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Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil 2 1b  (7 BE)
Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert der Graph der in ℝ definierten ganzrationalen Funktion q vierten Grades mit q ( x ) = - 0 , 11 x 4 - 0 , 81 x 2 + 5 . Der Graph von q wird mit G q bezeichnet.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass G q symmetrisch bezüglich der y -Achse ist, durch die Punkte A und B verläuft und genau einen Extrempunkt besitzt.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1b

Symmetrieverhalten einer Funktion



q ( x ) = - 0 , 11 x 4 - 0 , 81 x 2 + 5
Schritt einblenden / ausblenden
q ( - x ) = - 0 , 11 ( - x ) 4 - 0 , 81 ( - x ) 2 + 5 = - 0 , 11 x 4 - 0 , 81 x 2 + 5 = q ( x )

⇒ G q it achsensymmetrisch bezüglich der y -Achse.
Funktionswert berechnen



A ( - 2 | 0 ) , B ( 2 | 0 )
Schritt einblenden / ausblenden
Es soll gelten: q ( - 2 ) = 0 und q ( 2 ) = 0


q ( - 2 ) = - 0 , 11 ( - 2 ) 4 - 0 , 81 ( - 2 ) 2 + 5 = 0

q ( 2 ) = - 0 , 11 ( 2 ) 4 - 0 , 81 ( 2 ) 2 + 5 = 0

(Bemerkung: Wegen der Achsensymmetrie gilt q ( - 2 ) = q ( 2 ) .)
Art von Extrempunkten ermitteln



Erste Ableitung bilden:
q ′ ( x ) = - 0 , 44 x 3 - 1 , 62 x

q ′ ( x ) = - x ⋅ ( 0 , 44 x 2 + 1 , 62 )


Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
q ′ ( x ) = 0 ⇔ - x ⋅ ( 0 , 44 x 2 + 1 , 62 ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
0 , 44 x 2 + 1 , 62 = 0

0 , 44 x 2 = - 1 , 62 ⇒ Keine Lösung/Nullstelle


- x = 0 ⇒ x E = 0

Der Graph der Funktion q hat nur an der Stelle x = 0 eine mögliche Extremstelle.
Zweite Ableitung bilden:

q ′ ′ ( x ) = - 1 , 32 x 2 - 1 , 62


Prüfen, ob es sich um eine Extremstelle handelt:
Schritt einblenden / ausblenden
q ′ ′ ( 0 ) = - 1 , 62 ≠ 0 ⇒ Extrempunkt an der Stelle x E = 0 .

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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