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Abitur 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist für die Schar von Funktionen mit dem maximalen Definitionsbereich . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (5 BE)
Geben Sie den Definitionsbereich an. Bestimmen Sie das Verhalten von für und für und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von an.
Teilaufgabe 1b (4 BE)
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von .
[zur Kontrolle: ]
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Teilaufgabe 1c (4 BE)
Zeigen Sie, dass die -Achse nur im Punkt schneidet.
Die Tangente an im Punkt wird mit bezeichnet. Begründen Sie, dass alle Tangenten parallel zueinander sind.
Die Tangente an im Punkt wird mit bezeichnet. Begründen Sie, dass alle Tangenten parallel zueinander sind.
Teilaufgabe 1d (4 BE)
Zeigen Sie, dass sich die Graphen und nicht schneiden.
Teilaufgabe 1e (6 BE)
Berechnen Sie , , . Zeichnen Sie die Graphen und , deren Asymptoten sowie die Tangenten und unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.
Teilaufgabe 1f (3 BE)
Begründen Sie, dass durch jeden Punkt der -Achse ein Graph verläuft.
Teilaufgabe 1g (5 BE)
Zeigen Sie, dass die Funktion mit eine Stammfunktion von ist.
Teilaufgabe 1h (5 BE)
und die Koordinatenachsen begrenzen im IV. Quadranten ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt.
Teilaufgabe 2 (4 BE)
Lässt man für den Parameter auch negative Werte zu, so unterscheiden sich die Graphen mit von den Graphen mit . Geben Sie zwei grundsätzliche Unterschiede an und begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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