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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1b  (6 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E , die den Punkt Q und die Gerade g enthält, in Normalenform. Welche besondere Lage hat diese Ebene im Koordinatensystem?

[mögliches Teilergebnis: E : 4 x 2 - 3 x 3 + 19 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Ebene aus Punkt und Gerade



Q ( 7 | 8 | 17 )

g : x = O P + λ ( 1 0 0 ) = ( - 8 - 4 1 ) + λ ( 1 0 0 )

Zweiten Richtungsvektor der Ebene E Q , g bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
b = O Q - O P = ( 7 8 17 ) - ( - 8 - 4 1 ) = ( 15 12 16 )

Parameterform der Ebene E Q , g :
Schritt einblenden / ausblenden
E Q , g P : x = ( - 8 - 4 1 ) + λ ( 1 0 0 ) a + μ ( 15 12 16 ) b
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor der Ebene E Q , g bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E = a × b = ( 1 0 0 ) × ( 15 12 16 ) = ( 0 4 - 3 )

Normalenform der Ebene E Q , g :
Schritt einblenden / ausblenden
E Q , g N : x ( 0 4 - 3 ) = ( - 8 - 4 1 ) ( 0 4 - 3 ) x ( 0 4 - 3 ) = - 19 4 x 2 - 3 x 3 + 19 = 0

Besondere Lage im Koordinatensystem



Da der Normalenvektor n E der Ebene E Q , g in der x 2 x 3 -Ebene liegt ( x 1 -Koordinate ist gleich Null), verläuft die Ebene E Q , g parallel zur x 1 -Achse.



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