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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (6 BE)

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ . Der Graph von $f$ wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie $f$ auf Nullstellen. Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von $G_{f}$ und zeigen Sie, dass die Geraden mit den Gleichungen $y = - 1$ und $y = 1$ Asymptoten von $G_{f}$ sind.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

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Nullstellen einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$f : x \mapsto \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}, D_{f} = ℝ$

$f (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} = 0 \Leftrightarrow e^{x} - e^{- x} = 0$

$\Rightarrow e^{x} = e^{- x} \Rightarrow \ln e^{x} = \ln e^{- x} \Rightarrow x = - x$

$\Rightarrow x = 0$

Symmetrieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$f (- x) = \frac{e^{- x} - e^{- (- x)}}{e^{- x} + e^{- (- x)}} = \frac{e^{- x} - e^{x}}{e^{- x} + e^{x}} = - \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} = - f (x)$

$\Rightarrow$ Symmetrie zum Ursprung $(0 | 0)$

Asymptoten bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} - \overset{\to 0}{\overset{︷}{e^{- x}}}}{e^{x} + \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{- x}}}} = lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}} = 1$

Wegen der Symmetrie der Funktion zum Ursprung gilt:

$lim_{x \to - \infty} f (x) = - 1$

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