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Abitur 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (6 BE)
Untersuchen Sie auf Nullstellen. Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von und zeigen Sie, dass die Geraden mit den Gleichungen und Asymptoten von sind.
Teilaufgabe 1b (8 BE)
Zeigen Sie, dass streng monoton zunehmend ist. Berechnen Sie sowie und skizzieren Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem.
Teilaufgabe 1c (2 BE)
Geben Sie den Term einer Stammfunktion von an.
Teilaufgabe 1d (5 BE)
besitzt eine Umkehrfunktion . Geben Sie die Definitionsmenge von an und bestimmen Sie für einen Funktionsterm.
(Hinweis: Erweitern Sie den Term von mit .)
[mögliches Teilergebnis: ]
(Hinweis: Erweitern Sie den Term von mit .)
[mögliches Teilergebnis: ]
Die Fallgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers vor Öffnen des Schirms wird in guter Näherung beschrieben durch den Term mit .
Dabei ist die Maßzahl der Fallzeit in Sekunden, die Maßzahl der Fallgeschwindigkeit in und die Funktion aus Aufgabe 1.
Dabei ist die Maßzahl der Fallzeit in Sekunden, die Maßzahl der Fallgeschwindigkeit in und die Funktion aus Aufgabe 1.
Teilaufgabe 2a (3 BE)
Berechnen Sie und deuten Sie das Ergebnis im genannten Anwendungsbezug.
Teilaufgabe 2b (4 BE)
Berechnen Sie auf eine Dezimale gerundet die Zeit, nach der der Springer eine Geschwindigkeit von 49 erreicht hat.
(Die Absprunghöhe wird als genügend groß vorausgesetzt.)
(Die Absprunghöhe wird als genügend groß vorausgesetzt.)
Teilaufgabe 2c (4 BE)
Die Maßzahl der in der Zeit 11,5 s durchfallenen Strecke (in m) ist gegeben durch . Berechnen Sie dieses Integral.
Gegeben ist eine auf definierte Funktion , deren Funktionsgleichung in der Form geschrieben werden kann. ist hierbei eine Funktion, die mit ihrer zweiten Ableitung übereinstimmt, d. h. es gilt für alle . Die Funktion aus Aufgabe 1 ist ein Beispiel für eine derartige Funktion .
Teilaufgabe 3a (4 BE)
Zeigen Sie, dass für alle gilt: .
Teilaufgabe 3b (4 BE)
Folgern Sie aus der Gleichung von Teilaufgabe 3a:
Verläuft der Graph von im Streifen , dann steigt er dort streng monoton.
Begründen Sie kurz, dass der Graph von die Gerade nicht überqueren kann.
Verläuft der Graph von im Streifen , dann steigt er dort streng monoton.
Begründen Sie kurz, dass der Graph von die Gerade nicht überqueren kann.
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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