über 250 kostenlose
Abituraufgaben
Lösung als Video
und ausformuliert
Alle Lösungen von
erfahrenen Lehrern
 
 
 
 
AB SOFORT: KEIN LOGIN mehr erforderlich - alle Lösungen zu den Abituraufgaben sind frei zugänglich.
 

Abitur 2020 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion g : x ↦ ln ( 2 - x 2 ) mit maximalem Definitionsbereich D g .

Skizzieren Sie die Parabel mit der Gleichung y = 2 - x 2 in einem Koordinatensystem und geben Sie D g an.


Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion g ′ von g .

Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen G h einer in ℝ ∖ { 2 } definierten gebrochenrationalen Funktion h .
Die Funktion h hat bei x = 2 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt G h die Gerade mit der Gleichung y = x - 7 als schräge Asymptote.

Zeichnen Sie in die Abbildung 1 die Asymptoten von G h ein und skizzieren Sie im Bereich x < 2 einen möglichen Verlauf von G h .


Berechnen Sie unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von G h einen Näherungswert für ∫ 10 20 h ( x )  dx .

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion k : x ↦ - x 2 + 2 x 2 x 2 + 4 . Ihr Graph wird mit G k bezeichnet.

Geben Sie die Nullstellen von k an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass G k die Gerade mit der Gleichung y = - 0 , 5 als waagrechte Asymptote besitzt.


Berechnen Sie die x-Koordinate des Schnittpunkts von G k mit der waagrechten Asymptote.


Die Abbildung 2 zeigt den Graphen G f einer in [ 0 , 8 ; + ∞ [ definierten Funktion f .



Betrachtet wird zudem die in [ 0 , 8 ; + ∞ [ definierte Integralfunktion J : x ↦ ∫ 2 x f ( t )  dt .

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass J ( 1 ) ≈ - 1 gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert J ( 4 , 5 ) an. Skizzieren Sie den Graphen von J in der Abbildung 2.

Gegeben ist die Funktion f : x ↦ 1 + 7 e - 0 , 2 x mit Definitionsbereich ℝ 0 + ; die Abbildung 1 (Teil B) zeigt ihren Graphen G f .


Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y = 1 waagrechte Asymptote von G f ist. Zeigen Sie rechnerisch, dass f streng monoton abnehmend ist.

Für jeden Wert s > 0 legen die Punkte ( 0 | 1 ) , ( s | 1 ) , ( s | f ( s ) ) und ( 0 | f ( s ) ) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt R ( s ) fest.

Zeichnen Sie dieses Rechteck für s = 5 in die Abbildung 1 (Teil B) ein.
Zeigen Sie, dass R ( s ) für einen bestimmten Wert von s maximal ist, und geben Sie diesen Wert von s an.

(zur Kontrolle: R ( s ) = 7 s ⋅ e - 0 , 2 s )


Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von G f , der y-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen y = 1 und x = 5 begrenzt wird.
Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu s = 5 gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.

Die in ℝ 0 + definierte Funktion A : x ↦ 8 f ( x ) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Südufer eines Sees. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Tagen und A ( x ) der Flächeninhalt in Quadratmetern.

Bestimmen Sie A ( 0 ) sowie lim x → + ∞ A ( x ) und geben Sie jeweils die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an. Begründen Sie mithilfe des Monotonieverhaltens der Funktion f , dass der Flächeninhalt des Algenteppichs im Laufe der Zeit ständig zunimmt.


Bestimmen Sie denjenigen Wert x 0 , für den A ( x 0 ) = 4 gilt, und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

(zur Kontrolle: x 0 ≈ 9 , 7 )


Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn.


Nur zu dem Zeitpunkt, der im Modell durch x 0 (vgl. Aufgabe 2b) beschrieben wird, nimmt die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs ihren größten Wert an. Geben Sie eine besondere Eigenschaft des Graphen von A im Punkt ( x 0 | A ( x 0 ) ) an, die sich daraus folgern lässt, und begründen Sie Ihre Angabe.


Skizzieren Sie den Graphen der Funktion A unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2 (Teil B).



Um die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Nordufer des Sees zu beschreiben, wird im Term A ( x ) die im Exponenten zur Basis e enthaltene Zahl - 0 , 2 durch eine kleinere Zahl ersetzt.

Vergleichen Sie den Algenteppich am Nordufer mit dem am Südufer
  • hinsichtlich der durch A ( 0 ) und lim x → + ∞ A ( x ) beschriebenen Eigenschaften (vgl. Aufgabe 2a).
  • hinsichtlich der momentanen Änderungsrate des Flächeninhalts zu Beobachtungsbeginn (vgl. Aufgabe 2c).
Skizzieren Sie – ausgehend von diesem Vergleich – in der Abbildung 2 (Teil B) den Graphen einer Funktion, die eine mögliche zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts des Algenteppichs am Nordufer beschreibt.