Abitur 2017 Mathematik Stochastik IV

Diese Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein.

Im Vorfeld einer Wahl wird eine wahlberechtigte Person zufällig ausgewählt und befragt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

${\displaystyle \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: "Die Person ist älter als 50 Jahre."

${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: "Die Person will die derzeitige Regierungspartei wählen."

Erläutern Sie, was in diesem Sachzusammenhang eine stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse ${\displaystyle \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bedeuten würde.

Schwarze und weiße Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:

Aus Urne A wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt. Anschließend wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne C gelegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne C zwei weiße Kugeln und eine schwarze Kugel befinden.

Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:

Es wird zunächst ein Einsatz von 1 € eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel schwarz ist,wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.

Ermitteln Sie, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualität A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle 95\%}$, eines der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle 70\%}$.
Ein Anbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, ${\displaystyle 65\%}$ aller gekauften Samenkörner sind von der Qualität A.

In einem Gedankenexperiment werden die eingekauften Samenkörner zusammengeschüttet und gemischt. Bestimmen Sie mithilfe eines beschrifteten Baumdiagramms

${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt;

${\displaystyle \mathrm{\beta <mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn, das nach der Saat keimt, von der Qualität B ist.

Der Anbaubetrieb sät 200 Samenkörner der Qualität B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: "Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140."

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: "Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150."

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung des Terms ${\displaystyle 1-\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 275)}$, wobei ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eine binomial verteilte Zufallsgröße mit den Parametern ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=300}$ und ${\displaystyle \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0,95}$ bezeichnet.

Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Pflanze heran, die aufgrund schädlicher Einflüsse jedoch in manchen Fällen keine Gurken trägt. Bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität A entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle 85\%}$ eine fruchttragende Pflanze, bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle 75\%}$. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass - unabhängig von der Qualität der Samenkörner - von jeder fruchttragenden Pflanze gleich viele Gurken geerntet werden können.
Ein Samenkorn der Qualität A kostet 17 Cent, eines der Qualität B 12 Cent. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob es für einen Anbaubetrieb finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität A zu beschränken, oder ob es finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität B zu beschränken, wenn er alle Gurken zum selben Preis verkauft.

Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B durch eine veränderte Aufbereitung des Saatguts auf mehr als ${\displaystyle 70\%}$ erhöht hat. Deshalb soll die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens ${\displaystyle 70\%}$." auf einem Signifikanzniveau von ${\displaystyle 5\%}$ getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.