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Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe 1b  (7 BE)
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von   G f   und bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E von   G f  . Geben Sie die Wertemenge   W f   von f an.
[Teilergebnis: E(1|1)]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen



  f ( x )   = 1   -   ( ln x ) 2    
Schritt einblenden / ausblenden
  f ' ( x )   =   -   2 ln x   ·   1 x  
  0   =   -   2 ln x   ·   1 x  
0 = -2·lnx
0 = lnx
  x E   =   1  
  y E   =   1   -   ( ln 1 ) 2   =   1  
Monotonieverhalten einer Funktion



für 0 < x < 1: lnx < 0
  ⇒   f ' ( x )   =     -   2 ln x   ·   1 x   >   0  
  ⇒   G f  streng monoton steigend
für x >1: lnx > 0
  ⇒   f ' ( x )   =     -   2 ln x   ·   1 x   <   0  
  ⇒   G f  streng monoton fallend
Art von Extrempunkten ermitteln



Im Punkt E(1|1) hat   G f   ein Maximum.
Wertebereich bestimmen



  W f   =  ] - ∞; 1]

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