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Abitur 2005 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Funktion mit dem Definitionsbereich . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (4 BE)
Bestimmen Sie die Nullstellen von f und ermitteln Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs.
Teilaufgabe 1b (7 BE)
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von und bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E von . Geben Sie die Wertemenge von f an.
[Teilergebnis: E(1|1)]
[Teilergebnis: E(1|1)]
Teilaufgabe 1c (3 BE)
Die einzige Wendestelle von f ist (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente w.
[Zur Kontrolle: ]
[Zur Kontrolle: ]
Teilaufgabe 1d (6 BE)
Berechnen Sie und f(6). Zeichnen Sie die Wendetangente w und den Graphen unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich .
Die Funktion mit ist Stammfunktion von f (Nachweis nicht erforderlich).
Teilaufgabe 2a (4 BE)
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von und der x-Achse im ersten Quadranten begrenzt wird.
Teilaufgabe 2b (3 BE)
Begründen Sie, dass die Stammfunktion F zugleich die Integralfunktion mit ist.
Teilaufgabe 2c (4 BE)
Berechnen Sie . Deuten Sie dieses Ergebnis anhand des Graphen geometrisch.
(Hinweis: für darf ohne Beweis verwendet werden.)
(Hinweis: für darf ohne Beweis verwendet werden.)
Durch zentrische Streckung von mit dem Ursprung als Zentrum und dem Streckungsfaktor 2 erhält man den Graphen einer Funktion .
Teilaufgabe 3a (5 BE)
Welche Koordinaten hat bei dieser Abbildung der Bildpunkt eines beliebigen Punktes P(a | b) von ? Zeichnen Sie und seine Wendetangente in das Koordinatensystem von Aufgabe 1d ein.
Teilaufgabe 3b (4 BE)
Geben Sie den Funktionsterm von sowie ohne weitere Rechnung die Gleichung der Wendetangente an.
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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