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Abitur 2020 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Funktion h : x ↦ x ⋅ ln ( x 2 ) mit maximalem Definitionsbereich D h .

Geben Sie D h an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion h ′ von h gilt: h ′ ( x ) = ln ( x 2 ) + 2 .


Bestimmen Sie die Koordinaten des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von h .

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen G f ′ der Ableitungsfunktion f ′ einer in ℝ definierten ganzrationalen Funktion f . Nur in den Punkten ( - 4 | f ′ ( - 4 ) ) und ( 5 | f ′ ( 5 ) ) hat der Graph G f ′ waagrechte Tangenten.


Begründen Sie, dass f genau eine Wendestelle besitzt.


Es gibt Tangenten an den Graphen von f , die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen G f ′ der Ableitungsfunktion f ′ in der Abbildung 1 Näherungswerte für die x -Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von f jeweils eine solche Tangente hat.

Gegeben sind die in ℝ definierten Funktionen f : x ↦ x 2 + 4 und g m : x ↦ m ⋅ x mit m ∈ ℝ . Der Graph von f wird mit G f und der Graph von g m mit G m bezeichnet.

Skizzieren Sie G f in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen G f und G 4 .


Es gibt Werte von m , für die die Graphen G f und G m jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben. Geben Sie diese Werte von m an.

Gegeben ist die Funktion g mit g ( x ) = 0 , 7 ⋅ e 0 , 5 x - 0 , 7 und x ∈ ℝ . Die Funktion g ist umkehrbar. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen G g von g sowie einen Teil des Graphen G h der Umkehrfunktion h von g .


Zeichnen Sie in die Abbildung 2 den darin fehlenden Teil von G h ein.


Betrachtet wird das von den Graphen G g und G h eingeschlossene Flächenstück. Schraffieren Sie den Teil dieses Flächenstücks, dessen Inhalt mit dem Term 2 ⋅ ∫ 0 2 , 5 ( x - g ( x ) )  dx berechnet werden kann.


Geben Sie den Term einer Stammfunktion der in ℝ definierten Funktion k : x ↦ x - g ( x ) an.

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ x 2 - 1 x 2 + 1 ; die Abbildung 1 (Teil B) zeigt ihren Graphen G f .


Bestätigen Sie rechnerisch, dass G f symmetrisch bezüglich der y -Achse ist, und untersuchen Sie anhand des Funktionsterms das Verhalten von f für x → + ∞ . Bestimmen Sie diejenigen x -Werte, für die f ( x ) = 0 , 96 gilt.


Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von G f .

(zur Kontrolle: f ′ ( x ) = 4 x ( x 2 + 1 ) 2 )


Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an G f im Punkt ( 3 | f ( 3 ) ) . Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem t die x-Achse schneidet, und zeichnen Sie t in die Abbildung 1 (Teil B) ein.

Nun wird die in ℝ definierte Integralfunktion F : x ↦ ∫ 0 x f ( t )  dt betrachtet; ihr Graph wird mit G F bezeichnet.

Begründen Sie, dass F in x = 0 eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von G f plausibel, dass im Intervall [ 1 ; 3 ] eine weitere Nullstelle von F liegt.
Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft G F im Punkt ( - 1 | F ( - 1 ) ) hat, und begründen Sie Ihre Angabe.


Die Gerade mit der Gleichung y = x - 1 begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für F ( 1 ) an.


Die Abbildung 2 (Teil B) zeigt den Graphen G f sowie den Graphen G g der in ℝ definierten Funktion g : x ↦ - cos ( π 2 x ) .
Beschreiben Sie, wie G g aus dem Graphen der in ℝ definierten Funktion x ↦ cos x hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von g einen weiteren Näherungswert für F ( 1 ) .

(zur Kontrolle: F ( 1 ) ≈ - 2 π )


Berechnen Sie das arithmetische Mittel der beiden in den Aufgaben 2b und 2c berechneten Näherungswerte. Skizzieren Sie den Graphen von F für 0 ≤ x ≤ 3 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 1 (Teil B).

Für jeden Wert k > 0 legen die auf G f liegenden Punkte P k ( - k | f ( - k ) ) und Q k ( k | f ( k ) ) gemeinsam mit dem Punkt R ( 0 | 1 ) ein gleichschenkliges Dreieck P k Q k R fest.

Berechnen Sie für k = 2 den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks P 2 Q 2 R (vgl. Abbildung 3).
Zeigen Sie anschließend, dass der Flächeninhalt des Dreiecks P k Q k R allgemein durch den Term A ( k ) = 2 k k 2 + 1 beschrieben werden kann.


Zeigen Sie, dass es einen Wert von k > 0 gibt, für den A ( k ) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von k sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks P k Q k R .