Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich
Geben Sie an.
Bestimmen Sie die Nullstellen von .
Gegeben sind die in definierten Funktionen , und mit , und .
Das untere Bild zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
Die erste Ableitungsfunktion von ist . Bestimmen Sie den Wert von .
Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter an, sodass die in definierte Funktion eine Nullstelle in hat.
Ermitteln Sie den Wert des Parameters , sodass die Funktion den maximalen Definitionsbereich besitzt.
Erläutern Sie, dass die in definierte Funktion den Wertebereich besitzt.
Das untere Bild zeigt den Graphen einer in
definierten differenzierbaren Funktion
Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle
von
ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder die
-Koordinate des Hochpunkts
noch die
-Koordinate des Tiefpunkts
als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.
Gegeben ist die Funktion mit und .
Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von auf der Geraden mit der Gleichung liegt.
Der Graph von wird verschoben. Der Punkt des Graphen der Funktion besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten . Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion Geben Sie eine Gleichung von an.
Gegeben ist die Funktion mit und Definitionsbereich . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass zu jedem der drei folgenden Term äquivalent ist:
; ;
Begründen Sie, dass die -Achse horizontale Asymptote von ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der -Achse.
Abbildung 1 zeigt den Graphen der in
definierten Funktion
, die die Nullstellen
und
hat.
Für
gilt
Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen und die Beziehung für .
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von und , dass einzige Nullstelle von ist und dass in streng monoton steigend sowie in streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von an.
Berechnen Sie und und skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.
Gegeben ist die Funktion
mit Definitionsbereich
Abbildung 2 zeigt den Graphen
von
Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass gilt. Zeigen Sie rechnerisch für , dass für die Ableitung von gilt: .
Gegeben ist ferner die in definierte Integralfunktion .
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:
Der Graph von ist streng monoton steigend.
Der Graph von ist rechtsgekrümmt.
Geben Sie die Nullstelle von an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte sowie . Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von im Bereich .
In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion aus Aufgabe 2 beschreibt für modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt , zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf Gramm pro Minute zurückgegangen ist.
Die in definierte Funktion stellt im Bereich eine gute Näherung für die Funktion dar.
Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion aus dem Graphen der Funktion aus Aufgabe 1 hervorgeht.
Berechnen Sie einen Näherungswert für , indem Sie den Zusammenhang verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.