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Abitur 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie V
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des die Punkte und , die Gerade , sowie die Ebenenschar
.
.
Teilaufgabe 1a (4 BE)
Es gibt eine Gerade , die in allen Ebenen der Schar enthalten ist. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden in Parameterform.
Teilaufgabe 1b (6 BE)
Weisen Sie nach, dass genau eine Ebene der Schar echt parallel zur Geraden ist. In welcher Lagebeziehung stehen folglich und ? Begründen Sie Ihre Antwort.
Teilaufgabe 2a (4 BE)
Zeigen Sie, dass die Punkte und in der Ebene liegen, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der Geraden .
[Zur Kontrolle: ]
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Teilaufgabe 2b (5 BE)
Weisen Sie nach, dass das Dreieck gleichschenklig rechtwinklig ist, und ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts so, dass das Viereck ein Quadrat ist.
Das Quadrat als Grundfläche bildet zusammen mit einem Punkt als Spitze eine vierseitige Pyramide . Der Punkt liegt dabei auf der Geraden und ist so gewählt, dass die Pyramide gerade ist, das heißt, der Fußpunkt der Pyramidenhöhe ist gleichzeitig der Diagonalenschnittpunkt des Quadrats.
Teilaufgabe 2c (4 BE)
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte und .
[Zur Kontrolle: ]
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Teilaufgabe 2d (6 BE)
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide sowie den Inhalt ihrer Oberfläche.
Teilaufgabe 2e (7 BE)
sei die Kugel, auf der alle Ecken der Pyramide liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius der Kugel und zeigen Sie, dass im Inneren der Pyramide liegt.
Teilaufgabe 2f (4 BE)
Betrachtet werden nun eine gerade Pyramide mit dem Quadrat als Grundfläche und der Höhe sowie die Kugel durch die Ecken dieser Pyramide. Für welche Werte von liegt der Mittelpunkt dieser Kugel außerhalb der Pyramide?
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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