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Abitur 2000 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen mit . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (4 BE)
Bestimmen Sie die Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen und untersuchen Sie das Verhalten von für und .
Teilaufgabe 1b (5 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von .
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Teilaufgabe 1c (9 BE)
Zeigen Sie, dass genau einen Wendepunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an. Weisen Sie nach, dass ey = k(3 - kx) eine Gleichung der Wendetangente ist.
Geben Sie eine Gleichung der Kurve C an, auf der alle Punkte liegen.
Geben Sie eine Gleichung der Kurve C an, auf der alle Punkte liegen.
Teilaufgabe 1d (5 BE)
Berechnen Sie . Zeichnen Sie unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und in ein gemeinsames Koordinatensystem im Bereich (Längeneinheit 2 cm).
Teilaufgabe 2a (4 BE)
Durch ist eine Stammfunktion von gegeben. Bestimmen Sie a und b.
Teilaufgabe 2b (3 BE)
Der Graph und die Koordinatenachsen begrenzen im ersten Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt besitzt.
Teilaufgabe 3 (5 BE)
Begründen Sie, dass die Einschränkung von auf eine Umkehrfunktion h besitzt, und geben Sie deren Definitions- und Wertebereich an. Der Term von h soll nicht explizit ermittelt werden. Begründen Sie, an welcher Stelle die Ableitung von h ein lokales Extremum aufweist. Bestimmen Sie den Wert der Ableitung von h an dieser Stelle.
Der Funktionswert sei die Maßzahl für die Masse einer Substanz in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei ist t die Maßzahl der von Messbeginn an in Sekunden gemessenen Zeit ().
Teilaufgabe 4a (3 BE)
Zu welchem Zeitpunkt ist die Massenabnahme am stärksten? Begründen Sie Ihre Antwort.
Teilaufgabe 4b (2 BE)
Nach T Sekunden ist die Anfangsmasse auf die Hälfte abgesunken. Bestimmen Sie ein Intervall der Länge , in dem T liegt.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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