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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (6 BE)
Zeigen Sie, dass G k genau einen Extrempunkt besitzt, und bestimmen Sie dessen Lage und Art in Abhängigkeit von k .
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Art von Extrempunkten ermitteln



g k ( x ) = x 2 - k x 2 - 1 mit k ∈ R + ∖ { 1 } , D = R ∖ { - 1 ; 1 }


Erste Ableitung bilden:

g k ′ ( x ) = ( x 2 - k x 2 - 1 ) ′
Schritt einblenden / ausblenden
= 2 x ⋅ ( x 2 - 1 ) - ( x 2 - k ) ⋅ ( 2 x ) ( x 2 - 1 ) 2

= 2 x 3 - 2 x - 2 x 3 + 2 x k ( x 2 - 1 ) 2

= 2 x ( k - 1 ) ( x 2 - 1 ) 2


Erste Ableitung gleich Null setzen:
Schritt einblenden / ausblenden
g k ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 x ( k - 1 ) ( x 2 - 1 ) 2 = 0
Schritt einblenden / ausblenden
2 x ( k - 1 ) ︸ ≠ 0 da k ≠ 1 = 0

2 x = 0

⇒ x E = 0

⇒ An der Stelle x E = 0 hat der Graph G k eine waagerechte Tangente
Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen:

Ansatz: g k ′ ( x ) > 0 ⇔ 2 x ( k - 1 ) ( x 2 - 1 ) 2 > 0
Schritt einblenden / ausblenden
Nenner:

( x 2 - 1 ) 2 > 0 für alle x ∈ D
⇒ positives Vorzeichen des Nenners für alle x ∈ D


Zähler:

Fallunterscheidung:

a) k > 1

2 x ( k - 1 ) ︸ > 0 > 0 für x > 0

⇒ positives Vorzeichen des Zählers für x > 0
⇒ negatives Vorzeichen des Zählers für x < 0

⇒ Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von "-" nach "+", an der Stelle x E = 0 hat der Graph der Funktion einen Tiefpunkt


b) 0 < k < 1

2 x ( k - 1 ) ︸ < 0 > 0 für x < 0

⇒ positives Vorzeichen des Zählers für x < 0
⇒ negatives Vorzeichen des Zählers für x > 0

⇒ Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von "+" nach "-", an der Stelle x E = 0 hat der Graph der Funktion einen Hochpunkt
Alternative Lösung



Ermitteln der Art des Extrempunktes mit Hilfe der zweiten Ableitung:

Zweite Ableitung bilden

g k ′ ′ ( x ) = [ 2 x ( k - 1 ) ( x 2 - 1 ) 2 ] ′
Schritt einblenden / ausblenden
= 2 ( k - 1 ) ⋅ ( x 2 - 1 ) 2 - 2 x ( k - 1 ) ⋅ 2 ( x 2 - 1 ) ⋅ 2 x ( x 2 - 1 ) 4

= 2 ( k - 1 ) ( x 2 - 1 ) ⋅ ( x 2 - 1 - 4 x 2 ) ( x 2 - 1 ) 4

= 2 ( k - 1 ) ⋅ ( - 3 x 2 - 1 ) ( x 2 - 1 ) 3


Art des Extrempunktes bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
g k ′ ′ ( x E ) = g k ′ ′ ( 0 ) = 2 ( k - 1 ) ⋅ ( - 3 ⋅ 0 2 - 1 ) ( 0 2 - 1 ) 3 = 2 ( k - 1 ) ⋅ ( - 1 ) - 1 = 2 ( k - 1 )

Fallunterscheidung:

g k ′ ′ ( 0 ) = 2 ( k - 1 ) < 0 für 0 < k < 1 Maximum

g k ′ ′ ( 0 ) = 2 ( k - 1 ) > 0 für k > 1 Minimum
Lage von Extrempunkten ermitteln



y E = g k ( x E ) = g k ( 0 ) = 0 2 - k 0 2 - 1 = k

⇒ E ( 0 | k ) Maximum für 0 < k < 1

⇒ E ( 0 | k ) Minimum für k > 1

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