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Abitur 2021 Mathematik Analytische Geometrie VI


Mit einem Lasermessgerät soll ein Verkehrsschild angepeilt werden. Diese Situation wird modellhaft in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Ausgangspunkt des Laserstrahls wird durch den Punkt P ( 104 | - 42 | 10 ) beschrieben, seine Richtung durch den Vektor ( - 13 5 1 ) . Das Verkehrsschild wird durch eine Kreisscheibe repräsentiert, die in der x 2 x 3 -Ebene liegt und den Mittelpunkt M ( 0 | 0 | 20 ) sowie den Radius 3 hat.
Untersuchen Sie, ob der Laserstrahl auf das Verkehrsschild trifft.

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper wird begrenzt von der quadratischen Grundfläche ABCD mit A ( 5 | 5 | 0 ) , B ( - 5 | 5 | 0 ) , C ( - 5 | - 5 | 0 ) und D ( 5 | - 5 | 0 ) , acht dreieckigen Seitenflächen und einem weiteren Quadrat EFGH mit E ( 2 | 0 | 4 ) , F ( 0 | 2 | 4 ) , G ( - 2 | 0 | 4 ) und H ( 0 | - 2 | 4 ) .
Der Mittelpunkt S des Quadrats A B C D ist der Ursprung des Koordinatensystems und der gesamte Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der x 1 x 3 -Ebene als auch bezüglich der x 2 x 3 -Ebene.

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABF bei F rechtwinklig ist.


Das Dreieck ABF liegt in der Ebene W . Ermitteln Sie eine Gleichung von W in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von W im Koordinatensystem.

(zur Kontrolle: W : 4 x 2 + 3 x 3 - 20 = 0 )


Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenfläche ABF und die Grundfläche ABCD einschließen.

Auf der Strecke [ DE ] gibt es einen Punkt K , für den KE ¯ = EF ¯ gilt.

Bestimmen Sie die Koordinaten von K .


N ( 1 , 6 | 0 | 3 , 2 ) ist der Mittelpunkt der Strecke [ KF ] . Begründen Sie, dass die Gerade EN den Innenwinkel des Dreiecks DFE bei E halbiert, und weisen Sie rechnerisch nach, dass S auf der Gerade EN liegt.


Der Körper kann in neun Pyramiden zerlegt werden, von denen jede kongruent zu genau einer der drei Pyramiden ABFS , HDES bzw. EFGHS ist (vgl. Abbildung 2). Die Pyramide ABFS hat das Volumen 33 1 3 und die Pyramide HDES hat das Volumen 13 1 3 . Bestimmen Sie das Volumen des gesamten Körpers.



Es gibt genau eine Kugel, auf der alle acht Eckpunkte des Körpers liegen.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Kugel.


 
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