über 250 kostenlose
Abituraufgaben
Lösung als Video
und ausformuliert
Alle Lösungen von
erfahrenen Lehrern
 
 
 
 
AB SOFORT: KEIN LOGIN mehr erforderlich - alle Lösungen zu den Abituraufgaben sind frei zugänglich.
 

Abitur 2018 Mathematik Infinitesimalrechnung II


Gegeben ist die Funktion f : x ↦ 3 x - 5 mit maximalem Definitionsbereich D . Geben Sie D an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt ( 3 | f ( 3 ) ) .


Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f ( x ) = - x 3 + 9 x 2 - 15 x - 25 .
Weisen Sie nach, dass f folgende Eigenschaften besitzt:
(1) Der Graph von f besitzt an der Stelle x = 0 die Steigung - 15 .
(2) Der Graph von f besitzt im Punkt A ( 5 | f ( 5 ) ) die x -Achse als Tangente.
(3) Die Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt B ( - 1 | f ( - 1 ) ) kann durch die Gleichung y = - 36 x - 36 beschrieben werden.


Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel, die zu einer Funktion f mit Definitionsbereich ℝ gehört. Der Scheitel der Parabel hat die x-Koordinate 3.

Betrachtet wird die in ℝ definierte Integralfunktion F : x ↦ ∫ 3 x f ( t )  dt .

Wie viele Nullstellen hat F ? Machen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung plausibel.

Für jeden Wert von a mit a ∈ ℝ + ist eine Funktion f a durch f a ( x ) = 1 a ⋅ x 3 - x mit x ∈ ℝ gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von f a dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.



Für jeden Wert von a besitzt der Graph von f a genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von a , für den der Graph der Funktion f a an der Stelle x = 3 einen Extrempunkt hat.

Abbildung 1 zeigt den Graphen G f einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit Definitionsmenge ℝ . G f schneidet die x-Achse bei x = 0 , x = 5 und x = 10 und verläuft durch den Punkt ( 1 | 2 ) .

Ermitteln Sie einen Funktionsterm von f .

(zur Kontrolle: f ( x ) = 1 18 ⋅ ( x 3 - 15 x 2 + 50 x ) )


Zeigen Sie, dass G f im Punkt W ( 5 | 0 ) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an G f im Punkt W .


G f geht aus dem Graphen der in ℝ definierten Funktion g : x ↦ 1 18 ⋅ ( x 3 - 25 x ) durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von g dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion g , dass der Graph von f symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

Im Folgenden wird die in ℝ definierte Funktion F 1 mit F 1 ( x ) = ∫ 1 x f ( t )  dt betrachtet.

F 1 hat für 0 ≤ x ≤ 10 zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.


Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass F 1 mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.


Begründen Sie, dass F 1 höchstens vier Nullstellen hat.


Für 0 ≤ x ≤ 5 gilt, dass der Graph von f und der Graph einer trigonometrischen Funktion h
  • die gleichen Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen,
  • beide nicht unterhalb der x-Achse verlaufen,
  • jeweils mit der x-Achse eine Fläche des Inhalts 625 72 einschließen.
Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion h .

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion K : x ↦ x 3 - 12 x 2 + 50 x + 20 mit x ∈ [ 0 ; 9 ] beschrieben werden. Dabei gibt K ( x ) die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von x Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von K .



Geben Sie mithilfe von Abbildung 2

α ) die Produktionsmenge an, bei der die Kosten 125 000 Euro betragen.

β ) das Monotonieverhalten von K an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.

Die Funktion E mit E ( x ) = 23 x gibt für 0 ≤ x ≤ 9 den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von x Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion G gilt G ( x ) = E ( x ) - K ( x ) . Positive Werte von G werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.


Zeichnen Sie den Graphen von E in Abbildung 2 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.


Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.