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Abitur 2018 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Geben Sie für die Funktionen f 1 und f 2 jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

f 1 : x 2 x + 3 x 2 - 4 f 2 : x ln ( x + 2 )

Geben Sie den Term einer in definierten Funktion an, deren Graph im Punkt ( 2 | 1 ) eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.

Gegeben ist die in definierte Funktion f mit f ( x ) = - x 3 + 9 x 2 - 15 x - 25 .
Weisen Sie nach, dass f folgende Eigenschaften besitzt:
(1) Der Graph von f besitzt an der Stelle x = 0 die Steigung - 15 .
(2) Der Graph von f besitzt im Punkt A ( 5 | f ( 5 ) ) die x -Achse als Tangente.
(3) Die Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt B ( - 1 | f ( - 1 ) ) kann durch die Gleichung y = - 36 x - 36 beschrieben werden.

Die Abbildung zeigt den Graphen G f einer in definierten Funktion f mit dem Wendepunkt W ( 1 | 4 ) .

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von f an der Stelle x = 1 .

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f von f in die Abbildung; berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von f sowie den für f ( 1 ) ermittelten Näherungswert.

Für jeden Wert von a mit a + ist eine Funktion f a durch f a ( x ) = 1 a x 3 - x mit x gegeben.
Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von f a dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.


Für jeden Wert von a besitzt der Graph von f a genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von a , für den der Graph der Funktion f a an der Stelle x = 3 einen Extrempunkt hat.

Gegeben ist die in + definierte Funktion f : x 2 ( ( ln x ) 2 - 1 ) . Abbildung 1 zeigt den Graphen G f von f .

Zeigen Sie, dass x = e - 1 und x = e die einzigen Nullstellen von f sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts T von G f .
(zur Kontrolle: f ( x ) = 4 x ln x )

Zeigen Sie, dass G f genau einen Wendepunkt W besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an G f im Punkt W .
(zur Kontrolle: x-Koordinate von W : e )

Begründen Sie, dass lim x 0 f ( x ) = - und lim x + f ( x ) = 0 gilt. Geben Sie f ( 0 , 5 ) und f ( 10 ) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte c ] 0 ; 6 ] gibt, für die gilt: e - 1 c f ( x )  dx = 0 .

Die gebrochen-rationale Funktion h : x 1 , 5 x - 4 , 5 + 1 x mit x { 0 } stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für f dar.
Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von h an.

Im IV. Quadranten schließt G f zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x = 1 und x = 2 ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa 1 , 623 beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion h als Näherung für die Funktion f verwendet wird.

Durch Spiegelung von G f an der Geraden x = 4 entsteht der Graph einer in ] - ; 8 [ definierten Funktion g . Dieser Graph wird mit G g bezeichnet.
Zeichnen Sie G g in Abbildung 1 ein.

Die beschriebene Spiegelung von G f an der Geraden x = 4 kann durch eine Spiegelung von G f an der y-Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie a , b , sodass g ( x ) = f ( a x + b ) für x ] - ; 8 [ gilt.

Im Folgenden wird die "w-förmige" Kurve k betrachtet, die sich aus dem auf 0 , 2 x 4 beschränkten Teil von G f und dem auf 4 < x 7 , 8 beschränkten Teil von G g zusammensetzt. Die Kurve k wird um 12 Einheiten in negative z-Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorderund Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.
Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und die rechte Tunnelwand miteinander einschließen.

Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.
Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.

Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche G und Höhe h berechnen.
Erläutern Sie, dass der Term 24 0 , 2 4 ( f ( 0 , 2 ) - f ( x ) )  dx das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.