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Abitur 2016 Mathematik Analytische Geometrie V

Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H .
Die Eckpunkte D , E , F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: D ( 0 | 0 | - 2 ) , E ( 2 | 0 | 0 ) , F ( 2 | 2 | 0 ) und H ( 0 | 0 | 0 ) .
Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts A an.

Der Punkt P liegt auf der Kante [ F B ] des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand 3. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts P .

Gegeben sind die Punkte A ( - 2 | 1 | 4 ) und B ( - 4 | 0 | 6 ) .
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: C A = 2 A B .

Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g .
Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal.
II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt 3.

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A ( 6 | 3 | 3 ) , B ( 3 | 6 | 3 ) und C ( 3 | 3 | 6 ) das gleichseitige Dreieck A B C fest.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E , in der das Dreieck A B C liegt, in Normalenform.

[mögliches Ergebnis: E : x 1 + x 2 + x 3 - 12 = 0 ]

Spiegelt man die Punkte A , B und C am Symmetriezentrum Z ( 3 | 3 | 3 ) , so erhält man die Punkte A , B bzw. C .
Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte A , B und Z liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke [ C C ] senkrecht auf dieser Ebene steht.

Begründen Sie, dass das Viereck A B A B ein Quadrat mit der Seitenlänge 3 2 ist.

Der Körper A B A B C C ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat A B A B als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen C bzw. C .
Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt.

Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen A B C und A C B .

Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an.
Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.

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