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Abitur 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung II

Skizzieren Sie den Graphen der in R definierten Funktion f : x ↦ 4 - x 2 .
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit der x -Achse einschließt.


Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion f : x ↦ 3 x an und bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von f , deren Graph den Punkt P ( 1 | 4 ) enthält.

Betrachtet wird die Funktion f : x ↦ sin x x 2 mit Definitionsmenge R ∖ { 0 } .

Geben Sie die Nullstellen von f an.


Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und geben Sie den Grenzwert von f für x → + ∞ an.


Bestimmen Sie den Term der Ableitung von f .


Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge R ∖ { - 1 } an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y = 2 als Asymptote besitzt und in x = - 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.

Gegeben ist die in R definierte Funktion f : x ↦ 6 ⋅ e - 0 , 5 x + x . Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.

Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G f . Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E ( x E | y E ) von G f .

(zur Kontrolle: x E = 2 ⋅ ln 3 ; f ′ ′ ( x ) = 1 , 5 ⋅ e - 0 , 5 x )




Geben Sie das Verhalten von f für x → - ∞ an. Machen Sie plausibel, dass G f für x → + ∞ die Gerade mit der Gleichung y = x als schräge Asymptote besitzt.


Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G f im Punkt ( 0 | 6 ) .
Skizzieren Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet anzulegendes Koordinatensystem.

Gegeben ist die in R definierte Funktion h : x ↦ 6 ⋅ e - 0 , 5 x + 1 , 5 .
Die Abbildung zeigt den in R streng monoton fallenden Graphen G h von h sowie dessen Asymptote, die durch die Gleichung y = 1 , 5 gegeben ist.


Beschreiben Sie, wie G h aus dem Graphen der in R definierten natürlichen Exponentialfunktion x ↦ e x hervorgeht.

Für x ≥ 0 beschreibt die Funktion h modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist x die seit dem Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und h ( x ) die momentane Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute.

Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens von G h sowie des Grenzwerts von h für x → + ∞ an.


Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das G h , die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = 5 einschließen. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Gegeben ist die Schar der Funktionen f a : x ↦ 6 ⋅ e - 0 , 5 x - a ⋅ x mit a ∈ R + und Definitionsmenge R .

Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die y -Achse im selben Punkt schneiden und in R streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass lim x → + ∞ f a ( x ) = - ∞ gilt.


Aus den Ergebnissen der Aufgabe 3a ergibt sich, dass jede Funktion der Schar genau eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie für diese Nullstelle in Abhängigkeit von a einen Näherungswert x 1 , indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x 0 = 0 durchführen.