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Abitur 2011 G9 Abitur Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Funktion f : x ↦ ( e x - 2 ) 2 mit Definitionsmenge R . Ihr Graph wird mit G f bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Geben Sie die Nullstelle von f an und untersuchen Sie das Verhalten von f für x → - ∞ und x → + ∞ .

Teilaufgabe 1b  (8 BE)

Ermitteln Sie Art und Lage des Extrempunkts, das Krümmungsverhalten und die Lage des Wendepunkts von G f .

[zur Kontrolle: f ′ ′ ( x ) = 4 e x ⋅ ( e x - 1 ) ]


Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Zeigen Sie, dass G f und die durch die Gleichung y = 4 gegebene Gerade g genau einen Schnittpunkt S ( x S | y S ) besitzen, und bestimmen Sie dessen Koordinaten.

[Teilergebnis: x S = 2 ln 2 ]


Teilaufgabe 1d  (6 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von G f . Berechnen Sie f ( - 2 ) und zeichnen Sie G f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse im Bereich - 4 ≤ x ≤ 1 , 5 . Tragen Sie auch die Wendetangente und die Gerade g ein.

Teilaufgabe 1e  (4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an G f in einem Punkt P , der G f durchläuft. Geben Sie jeweils alle Werte an, die

α ) die Steigung der Tangente

β ) der y -Achsenabschnitt der Tangente

dabei annimmt.

Gegeben ist nun die in R definierte Integralfunktion I : x ↦ ∫ ln 2 x f ( t ) d t .
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Bestimmen Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung von I das Monotonieverhalten von I . Zeigen Sie, dass der Graph von I einen Terrassenpunkt besitzt und geben Sie dessen Koordinaten an.

Teilaufgabe 2b  (2 BE)

Geben Sie ohne weitere Rechnung das Verhalten von I für x → - ∞ an.

Teilaufgabe 3a  (2 BE)

Zeigen Sie, dass die Funktion F : x ↦ 0 , 5 e 2 x - 4 e x + 4 x mit Definitionsmenge R eine Stammfunktion von f ist.

Teilaufgabe 3b  (7 BE)

Der Graph G f schließt mit den durch die Gleichungen y = 4 bzw. x = u ( u < 0 ) bestimmten Geraden im I. und II. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt A ( u ) ein. Bestimmen Sie A ( u ) .
Ermitteln Sie lim u → - ∞ A ( u ) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

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