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Abitur 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Funktion f : x → e 1 - 0 , 5 x 2 mit Definitionsbereich D f = R .
Die Abbildung zeigt den Graphen G f von f .

Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Untersuchen Sie G f rechnerisch auf Symmetrie und Schnittpunkte mit den Achsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x → + ∞ und x → - ∞ .

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Zeigen Sie, dass gilt: f ′ ′ ( x ) = ( x 2 - 1 ) ⋅ e 1 - 0 , 5 x 2 .
Bestimmen Sie durch Rechnung das Monotonieverhalten von f und die Koordinaten der Wendepunkte.

Die Integralfunktion F ist definiert durch F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t , x ∈ R .
Teilaufgabe 2a  (8 BE)

Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F . Bestimmen Sie aus der Abbildung mit Hilfe des Gitternetzes Näherungswerte für F ( 1 2 ) , F ( 1 ) , F ( 2 ) und F ( 4 ) . Tragen Sie den Graphen von F im Bereich x ∈ [ - 4 ; 4 ] in die gegebene Abbildung ein.

Teilaufgabe 2b  (5 BE)

Für x > 1 gilt offensichtlich x e 1 - 0 , 5 x 2 > e 1 - 0 , 5 x 2 . Zeigen Sie damit, dass ∫ 4 ∞ f ( x ) d x < 10 - 3 ist.
Was folgt für die Funktionswerte von F für x ≥ 4 ?

Die Funktion f soll im Folgenden in einer Umgebung von x = 0 durch eine Polynomfunktion p mit dem Term p ( x ) = a x 4 + b x 2 + c , a , b , c ∈ R , angenähert werden.
Teilaufgabe 3a  (6 BE)

Bestimmen Sie die Koeffizienten a , b und c so, dass f und p an der Stelle x = 0 im Funktionswert und in den Werten der 1. bis einschließlich 4. Ableitung übereinstimmen.
Ohne Nachweis darf verwendet werden: f ′ ′ ′ ( 0 ) = 0 , f ′ ′ ′ ′ ( 0 ) = 3 e

[Zur Kontrolle: p ( x ) = e ⋅ ( 1 8 x 4 - 1 2 x 2 + 1 ) ]

Teilaufgabe 3b  (5 BE)

Zeigen Sie, dass p keine Nullstelle besitzt. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Graphen von p und der Geraden x = 1 eingeschlossen wird, auf 4 Dezimalen gerundet.

[Zur Kontrolle: A ≈ 2 , 3332 ]

Teilaufgabe 3c  (6 BE)

Bestimmen Sie nun den Wert des Integrals ∫ 0 1 f ( x ) d x mit Hilfe der Gauß'schen ϕ -Funktion ( ϕ ( x ) = 1 2 π e - 0 , 5 x 2 ) und dem stochastischen Tafelwerk. Um wie viel Prozent weicht der Näherungswert aus Teilaufgabe 3b von diesem Ergebnis ab?

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