Abitur 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie V

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Abitur 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie V

In einem kartesischen Koordinatensystem des

R^{3}

sind die Ebene

E : x_{2} - x_{3} - 1 = 0

, die Geradenschar

g_{k} : \vec{x} = (\begin{matrix} - k^{2} \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

und die Gerade

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

gegeben, wobei k,

λ

und

μ

aus

R

sind.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Zeigen Sie: Alle Geraden der Schar

g_{k}

sind zueinander parallel und liegen in der Ebene E.

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Begründen Sie, dass die Schar der Geraden

g_{k}

eine Halbebene von E bildet.

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Für welche Werte von k schneidet

g_{k}

die Gerade h? Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S.
[Teilergebnis:

S (2 | \frac{5}{3} | \frac{2}{3})

]

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Projiziert man h senkrecht auf E, so erhält man die Gerade

h_{E}

. Berechnen Sie den Winkel

ϕ

zwischen

h_{E}

und h in Grad auf eine Nachkommastelle gerundet.

Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln

K_{1}

und

K_{2}

mit den Radien

5 \sqrt{2}

, deren Mittelpunkte

M_{1}

und

M_{2}

auf der Geraden h liegen.

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten von

M_{1}

und

M_{2}

. (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M1 bezeichnet.)
[Teilergebnis:

M_{1} (2 | 5 | - 6)

]

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Die Kugelpunkte

P \in K_{1}

und

Q \in K_{2}

sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung

\bar{P Q}

auf zwei Dezimalen gerundet.

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Spiegelt man die Ebene E am Punkt

M_{1}

, so erhält man die Ebene

E^{*}

. Geben Sie eine Gleichung von

E^{*}

in Normalenform an.

Teilaufgabe 2d (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Punkte

A (- 1 | 0 | - 2)

und

C (- 1 | 1 | - 1)

auf der Kugel

K_{1}

M_{1}

liegen, und bestimmen Sie die Koordinaten von B so, dass die Strecke

[A B]

ein Durchmesser von

K_{1}

ist.
[Teilergebnis:

B (5 | 10 | - 10)

]

Teilaufgabe 2e (6 BE)

Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D ebenfalls auf der Kugel

K_{1}

liegt. Alle Punkte D, für die die Pyramiden ABCD das Volumen 11 haben, bilden zwei Kreise auf der Kugelfläche (Nachweis nicht erforderlich).
Berechnen Sie zuerst die Höhe h dieser Pyramiden und anschließend mit Hilfe einer geeigneten Skizze den Radius R der beiden oben definierten Kreise.
[Zur Kontrolle: