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Abitur 2006 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Schar von Funktionen   f a : x ↦ a x 2 − 5 x 2   mit   a ∈ R +   und Definitionsbereich   D a = R ∖ { 0 } . Der Graph von   f a   wird mit   G a   bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von   G a   und die zwei Nullstellen von   f a .
[Teilergebnis:  x 1 = 5 a  ]

Teilaufgabe 1b  (3 BE)

Begründen Sie, dass   y = a   Asymptote von   G a   ist. Untersuchen Sie das Verhalten von   f a   an der Definitionslücke.

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von   f a .
[Zur Kontrolle:  f a ′ ( x ) = 10 x 3   ]

Teilaufgabe 1d  (5 BE)

Die Abbildung zeigt drei Graphen der Schar zu ganzzahligen Parameterwerten a. Geben Sie an, zu welchem a die Graphen I, II und III jeweils gehören, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

Teilaufgabe 2a  (2 BE)

Ermitteln Sie, für welche Parameterwerte a die positive Nullstelle von   f a  kleiner als 2,5 ist.

Für diese Parameter a schließen der Graph   G a , die Koordinatenachsen, die Asymptote   y = a   und die Gerade   x = 2 , 5   im ersten Quadraten eine Fläche mit Inhalt   A a   ein.
Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Markieren Sie die Fläche für einen der Graphen in der Abbildung von Aufgabe 1d. Begründen Sie, dass für den Flächeninhalt   f a   gilt:
A a = 2 , 5 a − ∫ 5 a 2 , 5 f a ( x ) ⅆ x .

Teilaufgabe 2c  (6 BE)

Zeigen Sie:  A a = 2 5 a − 2
(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Term der Funktion   f a   als Differenz darzustellen.)

Teilaufgabe 2d  (4 BE)

Geben Sie ein Beispiel für zwei Parameterwerte   a 1   und   a 2   an, so dass sich die Flächeninhalte   A a 1   und   A a 2   um   2 5  unterscheiden.

Teilaufgabe 3  (9 BE)

Nun sei   a = 2 . Die nebenstehende Abbildung zeigt den zugehörigen Graphen  G 2 . Die Tangenten an   G 2   in den Kurvenpunkten  P ( − 1 , 25 | − 1 , 2 )   und   Q ( 1 , 25 | − 1 , 2 )   schließen mit der Asymptote   y = 2   ein Dreieck ein. Skizzieren Sie das Dreieck in die nebenstehende Abbildung und berechnen Sie seinen exakten Flächeninhalt.

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