Abitur 2006 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

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Abitur 2006 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

Die untenstehende Abbildung zeigt den Graphen

G_{f}

einer rationalen Funktion f der Form

f (x) = \frac{x + a}{b x}

mit dem Definitionsbereich

D_{f} = R ∖ {0}

Teilaufgabe 1a (2 BE)

Einziger Schnittpunkt von

G_{f}

mit der x-Achse ist

A (- 1 | 0)

, außerdem verläuft

G_{f}

durch den Punkt

B (1 | 1)

. Bestimmen Sie den Funktionsterm von f.
[Ergebnis:

f (x) = \frac{x + 1}{2 x}

]

Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion

g : x \mapsto \ln f (x) = \ln (\frac{x + 1}{2 x})

mit maximalem Definitionsbereich

D_{g}

. Ihr Graph wird mit

G_{g}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1b (7 BE)

Begründen Sie anhand des Verlaufs von

G_{f}

, dass gilt:

D_{g} = R ∖ [- 1; 0]

.
Untersuchen Sia das Verhalten von

G_{g}

an den Rändern von

D_{f}

.
Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von

G_{g}

an.

Teilaufgabe 1c (7 BE)

Ermitteln Sie die Nullstelle von g und untersuchen Sie mit Hilfe der ersten Ableitung das Monotonieverhalten von g.
[Zur Kontrolle:

g^{'} (x) = - \frac{1}{x (x + 1)}

]

Teilaufgabe 1d (9 BE)

Bestimmen Sie die Stelle

x_{0}

, an der die Funktion f und g in der ersten Ableitung übereinstimmen.
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an

G_{f}

P (x_{0} | f (x_{0}))

sowie die Gleichung der Tangente an

G_{g}

Q (x_{0} | g (x_{0}))

.
Berechnen Sie die Nullstelle der Tangente in P.
[Ergebnis für die Gleichung der Tangente in P:

y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

]

Teilaufgabe 1e (7 BE)

Berechnen Sie

g (- 4)

g (- 2)

g (0.1)

und

g (4)

. Zeichnen Sie den Graphen

G_{g}

sowie seine Asymptoten unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in die untenstehende Abbildung ein. Tragen Sie auch die Tangenten in P und Q ein.

Die Funktion

G : x \mapsto x \cdot g (x) + \ln (x + 1)

ist für

x > 0

eine Stammfunktion von g (Nachweis nicht erforderlich).

Teilaufgabe 1f (8 BE)

Die Tangenten in P und Q schließen mit den Geraden

x = 1

und

x = 3

ein Parallelogramm ein. Der Graph von g teilt dieses Parallelogramm in zwei Teilflächen.
Wie viel Prozent der Parallelogrammfläche nimmt die Teilfläche unterhalb von