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Abitur 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die in R definierte Funktion f mit f(x) = 10 ( e - x 2   -   e - x ) .
Der zugehörige Graph ist nebenstehend skizziert.

Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Untersuchen Sie durch Rechnung das Verhalten von f für  x →   + ∞  und für   x →   - ∞ ,

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

Untersuchen Sie durch Rechnung in welchen Intervallen die Funktionswerte von f positiv bzw. negativ sind,






Teilaufgabe 1c  (6 BE)

Untersuchen Sie durch Rechnung Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f.
[Zur Kontrolle: H(2ln2|2,5) ]






Teilaufgabe 2  (7 BE)

Einem Patienten wird zum Zeitpunkt x = 0 eine bestimmte Menge eines Medikaments verabreicht. Der obige Term f(x) beschreibt die Konzentration dieses Medikaments (Anzahl der Milliliter pro Liter Blut) nach x Stunden.
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf 75 % ihres Höchstwerts abgesunken ist.






Nun werden die in R definierten Integralfunktionen  F a :   x   ↦   ∫ a x f ( t ) d t  betrachtet ( a   ∈   R ). Der Graph von  F a  wird mit  G a  bezeichnet.
Teilaufgabe 3a  (4 BE)

Bestimmen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G a  ohne Ausführung der Integration (kurze Begründung).

Teilaufgabe 3b  (9 BE)

Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von F 0 ( x )  und zeigen Sie, dass gilt:
lim   x   →   +   ∞ F 0 ( x )   =   10 .
Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von  G 0 . Skizzieren Sie  G 0  unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse.

Teilaufgabe 3c  (7 BE)

Erklären Sie, warum jede Funktion  F a  mit a > 0 genau zwei Nullstellen hat (explizite Berechnung der Nullstellen nicht verlangt).
Erläutern Sie, warum es Funktionen  F a  mit a < 0 gibt, die genau eine Nullstelle haben.

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