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Abitur 2003 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Schar der in R definierten Funktionen f k : x ↦ 1 2 ( k - x ) e x mit k ∈ R . Der jeweilige Graph von f k wird mit G k bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Geben Sie f k ( 0 ) sowie die Nullstelle von f k an.
Untersuchen Sie das Verhalten von f k für x → - ∞ und für x → + ∞ .

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Zeigen Sie, dass f k ′ ( x ) = 1 2 f k - 2 ( x ) gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen f k ′ ′ und f k ′ ′ ′ sowie einer Stammfunktion von f k .

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Zeigen Sie, dass G k genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

Teilaufgabe 1d  (5 BE)

Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G 4 und G 6 in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 1e  (3 BE)

G 4 schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat. Test

Teilaufgabe 1f  (7 BE)

Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 ⋅ f 6 für die Funktion f 4 hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von G 6 aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die ∫ 0 z f 4 ( x ) d x = 0 ist.
Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.

Das abgebildete Zelt - geometrisch betrachtet ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen 3 2 a und b . Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen 3 2 a und a sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a .
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:

V = 9 4 a 2 b , S = 9 2 a 2 + 9 2 a b .

Teilaufgabe 2b  (7 BE)

Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121 , 5 m 3 ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m 2 Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?

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