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Abitur 2003 Mathematik LK Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , A(5|0|1), B(0|4|2) und C(0|0|t) mit 0 < t < 6 gegeben.
Teilaufgabe 1a  (7 BE)

Berechnen Sie für die Gerade AB den Schnittpunkt mit der x 1 x 2 -Ebene sowie ihren Abstand d zur x 3 -Achse.

           (Teilergebnis: d = 20 41 )

Teilaufgabe 1b  (3 BE)

Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC nicht kleiner als 10 ist.

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Untersuchen Sie, für welche der zulässigen Werte von t das Dreieck ABC rechtwinklig ist.

Ferner ist der Punkt S(0|0|6) gegeben. A ' , B ' , C ' sind die Spurpunkte der Geraden SA, SB, SC in der Koordinatenebene x 3 = 0 .
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A ' , B ' , C ' .
      [Teilergebnis: A ' (6|0|0), B ' (0|6|0)]

Teilaufgabe 2b  (3 BE)


Legen Sie ein Koordinatensystem an (ganze Seite; Querformat; Koordinatenursprung in der Blattmitte).
Tragen Sie darin die Pyramide A ' B ' C ' S  und das Dreieck ABC für t = 3 ein.

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene ABC für t = 3 mit der x 1 x 2 -Ebene bildet.

Teilaufgabe 2d  (6 BE)

Ermitteln Sie den Wert von t, für den das Dreieck ABC die Pyramide  in zwei volumengleiche Teile zerlegt.

Der Schnittpunkt von AB mit A ' B ' heißt P, der von AC mit A ' C ' bzw. BC mit B ' C ' heißt Q t  bzw. R t ( t ≠ 1 und t ≠ 2 ).
Teilaufgabe 3a  (2 BE)

Bringen Sie für t = 3 die genannten Geraden in Ihrer Zeichnung zum Schnitt.

Teilaufgabe 3b  (6 BE)

In Ihrer Zeichnung sollten P, Q 3 , R 3  auf einer Geraden liegen.
Warum liegen die Punkte P, Q t , R t  stets auf einer Geraden s t ? (Begründung ohne Rechnung genügt.)
Beschreiben Sie, welcher besonderen Lage sich die Geraden s t für t → 1 bzw. für t → 2  nähern und geben Sie jeweils eine Gleichung der zugehörigen Grenzgeraden an.

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