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Abitur 2003 Mathematik GK Analytische Geometrie V
In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O sind die Punkte A(1| -3| -3), B(2| 1| -2) und D(5| -5| 1) sowie die beiden folgenden Geraden gegeben:

g :     x ⇀   =   OA ⇀   +   λ ⁢ ( 2 2 - 1 )        h : x ⇀ = OD ⇀ + μ ⁢ ( 2 0 1 ) ;      λ , μ ∈ ℝ .

Die Geraden g und h legen eine Ebene H fest.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene H in Normalenform.
[mögliches Ergebnis: x 1   -   2 ⁢ x 2   -   2 ⁢ x 3   -   13   =   0   ]

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Vom Punkt B aus wird auf die Gerade g ein Lot gefällt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes C und zeigen Sie, dass BC auch eine Lotgerade zur Ebene H ist.
[Teilergebnis: C( 3| -1| -4)]

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Zeigen Sie, dass die Ebene E 1 :   2 ⁢ x 1   -   x 2   +   2 ⁢ x 3   +   1   =   0  senkrecht auf der Ebene H steht und das Dreieck ABC enthält.

Das Dreieck ABC bildet die Grundfläche des dreiseitigen Prismas ABCDEF mit der Strecke [AD] als einer Seitenkante.
Teilaufgabe 2a  (6 BE)

Zeigen Sie, dass AD senkrecht auf der Ebene E 1  steht, und berechnen Sie die Koordinaten der fehlenden Punkte E und F. Fertigen Sie eine Skizze des Prismas an.

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E 2 , welche die Deckfläche des Prismas enthält, in Normalenform.

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist, und berechnen Sie das Volumen des Prismas.

Teilaufgabe 2d  (4 BE)

Die Ebene, die durch die Punkte A, B und F bestimmt ist, zerlegt das Prisma in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie das Verhältnis der Rauminhalte dieser Teilkörper.

Teilaufgabe 2e  (7 BE)

Geben Sie zwei Möglichkeiten an, das Prismenvolumen durch Schnitt des Prismas mit einer Ebene zu halbieren. Beschreiben Sie dazu genau die Lage der jeweiligen Schnittebene und geben Sie die Gleichungen der beiden Ebenen in Parameter- oder Normalenform an.

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